La pregunta sobre cómo trabajar con "diferencial"

Question

Tengo el siguiente ecuación, que es de un famoso papel en la economía:

$$ \sum_{i=1}^n x_i \, dx_i=\frac{1}{2} d\Big[\sum_{i=1}^n x_{i}^2\Big]=XH \, dX+\frac{1}{2}d\big[X^2H\big] $$ Me puede decir cómo llegar a la segunda y la tercera igualdad de signo.

Tenemos que

$$ \sum_i^n x_i=X $$

y

$$ \sum_i^n \Big(\frac{x_i}{X} \Big)^2=H $$

Creo que la "d" $dx_i$ es el mismo que en un derivado.

Muchas gracias. M

Answer 1

El $\rm d$ operador de la derivada, en un sentido. El producto (Leibniz) se aplica la regla. Y $\rm d$ es aditivo. También, la regla de la cadena se mantiene. Por lo ${\rm d}(x_i^2) = 2 x_i {\rm d}x_i$. Este hecho da $$\frac{1}{2}{\rm d}\left(\sum x_i^2\right) = \frac{1}{2}\sum d(x_i^2) = \frac{1}{2} \sum 2x_i {\rm d}x_i = \sum x_i {\rm d}x_i,$$ como queríamos.

Para la segunda parte, está seguro de que $H$ $X$ son como se dice? Apariencia: $$H = \sum \left(\frac{x_i}{X}\right)^2 = \frac{1}{X^2}\sum x_i^2 \implies X^2H = \sum x_i^2 \implies {\rm d}(X^2H) = 2\sum x_i{\rm d}x_i.$$ Con ese factor $1/2$, ya hemos dicho término en la primera igualdad. El $XH{\rm d}X$ parcela sobrante.