Probabilidad de que 3 puntos sean colineales.

Question

Si seleccionamos tres puntos independientes y aleatorios $A$ , $B$ y $C$ en un plano, ¿cuál será la probabilidad de que sean colineales?

En realidad, este problema se le planteó a mi amigo en una entrevista, él aplicó el sentido común y lo planteó de la siguiente manera : ya que dos cualesquiera, digamos $A$ y $B$ se encuentran en una línea, $C$ o bien se encuentra en la línea que une $A$ y $B$ Ahora bien, como el plano es tan vasto comparado con la línea (aquí viene el argumento) la probabilidad debe tender a 0.

Pero el profesor de matemáticas (que le entrevistó) dijo que como tanto la línea como el plano se extienden hasta el infinito no podemos compararlos, por lo que sólo hay dos posibilidades $C$ La probabilidad está igualmente distribuida, por lo que la respuesta será 0,5.

Todo el argumento radica en el punto Si dos infinitos pueden ser comparados o no .

Aunque tampoco estaba satisfecho, no podía argumentar más porque no sabía que se podían comparar dos infinitos (por ejemplo, el conjunto de todos los números reales es estrictamente mayor que el conjunto de todos los números naturales, lo que se puede demostrar con el argumento diagonal de Cantor).

Podemos comparar la cardinalidad de dos infinitos y decir cuál es relativamente más grande y no pude encontrar ninguna función Uno-Uno y Uno-A para los puntos de la línea y el plano y estoy bastante seguro de que no encontraría ninguna.(Para explicar que son iguales)

Pero como el propio entrevistador era un profesor de Matemáticas, no podía dejar de lado su respuesta.

EDIT : Anteriormente había aceptado la respuesta dada por sds , pero recientemente he llegado a saber que, la cardinalidad del conjunto que contiene todos los puntos del plano, y el conjunto que contiene todos los puntos de la línea es, de hecho, igual, y por lo tanto no podemos decir que el plano es "vasto" en comparación con la línea. Por lo tanto, estoy de nuevo confundido.

Answer 1

Probabilidad

Ni los profesores de matemáticas ni la transmisión de información son infalibles. Lo que le atribuyes a un profesor de matemáticas tiene poco sentido. Tu amigo tiene razón, tanto en la respuesta (la probabilidad es $0$ ) y en su argumento (dimensión).

En concreto, un triple de puntos en un plano forma un espacio de 6 dimensiones, y el subespacio de puntos colineales es de 5 dimensiones, por lo que su medida (probabilidad) será $0$ para cualquier definición "razonable" de probabilidad.

"El número de puntos" tanto en el espacio 6d como en el subespacio 5d no entra en escena (la cardinalidad de ambos es continua y es irrelevante).

En sentido estricto, no es fácil definir un probabilidad medir en todo el plano. La medida no puede ser a la vez invariante bajo transformaciones euclidianas y tener la probabilidad total de $1$ . Así, la solución habitual es restringir los puntos a un subconjunto acotado.

Por lo tanto, dejemos que los puntos sean seleccionados uniformemente y independientemente del cuadrado de la unidad $[0;1]\times[0;1]$ con los habituales Medida de Lebesgue (también conocido como área) como la probabilidad.

Entonces los 3 puntos $A=(x_1,y_1), B=(x_2,y_2), C=(x_3,y_3)$ puede representarse como un único punto seleccionado uniformemente de $[0;1]^6$ .

El subconjunto de puntos colineales se describe mediante una única ecuación

$$\det \begin{bmatrix} x_1-x_2 & x_1-x_3 \\ y_1-y_2 & y_1-y_3 \end{bmatrix} = 0$$

que define un subconjunto de co-dimensión 1 y por lo tanto tiene probabilidad $0$ .

Comparación de infinitos

Su pregunta, en negrita, si dos infinitos pueden ser comparados o no .

La respuesta es definitivamente SI .

Sin embargo, depende de lo que se quiera conseguir.

Por ejemplo, tanto los enteros como los reales son conjuntos infinitos, pero los enteros son contables mientras que los reales no lo son. Por tanto, se puede decir que hay más reales que enteros. (Además, esta idea de cardinalidad nos da un argumento muy sencillo de por qué existen irracionales y trascendentales: porque las "alternativas" (números racionales y algebraicos) son contables y los reales no).

Sin embargo, usted está hablando de probabilidades, lo que significa que sólo cuenta para finito conjuntos. Para los conjuntos infinitos hay que utilizar la teoría de la medida.

Aquí se diría que al seleccionar un punto al azar del segmento $[0;1]$ la probabilidad de que termines con un número entre, digamos, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ es la longitud del segmento $[\frac{1}{3};\frac{1}{2}]$ que es $\frac{1}{6}$ . Aquí acabamos de comparar dos infinitos (incontables): el conjunto de puntos en $[0;1]$ y el conjunto de puntos en $[\frac{1}{3};\frac{1}{2}]$ (ambos continuos).