¿Densidad lagrangiana para la fuerza de Lorentz de la distribución de carga continua en el campo externo?

Question

A menudo es un ejercicio derivar la ley de fuerza de Lorentz para una partícula con carga $q$ en un campo electromagnético externo dado por el siguiente Lagrangiano:

$$L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}} - q \phi + q \mathbf{\dot{r}} \cdot \mathbf{A}$$

Lo que lleva a la ley de fuerza relativista de Lorentz:

$$\mathbf{F} = \frac{d}{dt} \Bigg(\frac{m \mathbf{\dot{r}}}{\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}}} \Bigg) = q(\mathbf{E} + \mathbf{\dot{r}} \times \mathbf{B})$$

Para distribuciones continuas, tenemos:

$$\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}$$

Estoy tratando de encontrar la densidad lagrangiana correspondiente que da lugar a esta fuerza. Sé que si la distribución de la carga se trata como la fuente se puede utilizar la densidad lagrangiana estándar para el electromagnetismo, pero al hacerlo no se obtiene la ecuación de la fuerza de Lorentz. Sin embargo, en mi caso específico estoy ignorando el campo propio de la distribución de carga, los campos son puramente externos, no necesito la densidad lagrangiana del electromagnetismo para mi problema. Ingenuamente uno podría reemplazar todas las instancias de $m$ con un término de densidad de masa, $\rho_m$ y todos los casos de $q$ con un término de densidad de carga, $\rho_q$ , donde $\mathbf{J} = \rho_q \mathbf{\dot{r}}$ .

$$\mathcal{L} = -\rho_mc^2\sqrt{1-\frac{v(\mathbf{r},t)^2}{c^2}} - \rho_q \phi + \rho_q \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \mathbf{A} = -\rho_mc^2\sqrt{1-\frac{v(\mathbf{r},t)^2}{c^2}} - \rho_q \phi + \mathbf{J} \cdot \mathbf{A}$$

Sin embargo, las densidades también son una función de las coordenadas y, además, las densidades de masa y de carga están relacionadas entre sí de alguna manera desconocida. Si suponemos que todas nuestras partículas son electrones, podemos escalar las densidades por la masa y la carga del electrón. Si tomamos la variación de esta densidad lagrangiana con respecto a la densidad de carga entonces obtenemos lo siguiente:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\rho}} + \frac{d}{dx}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho_x} + \frac{d}{dy}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho_y} + \frac{d}{dz}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho_z}= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho}$$

El LHS es claramente cero ya que no tenemos dependencia de las derivadas de la densidad en nuestra densidad lagrangiana. El RHS sólo nos da:

$$0 = -\frac{mc^2}{e}\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}} - \phi + \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \mathbf{A}$$

Así que claramente esta densidad lagrangiana no es correcta o no deberíamos variar con respecto a la densidad. Del mismo modo se puede tomar la variación con respecto al campo de velocidad pero esto tampoco da como resultado la ecuación correcta. Siento que estoy teniendo un malentendido fundamental aquí pero no puedo encontrar ninguna referencia que trabaje sobre esto. ¿Cuál es la densidad lagrangiana correcta? ¿Cuál es la cantidad correcta para variar la acción?

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v3):

1. El OP está preguntando esencialmente sobre la formulación teórica del campo lagrangiano de un fluido relativista en un fondo electromagnético externo $A_{\mu}$ .

2. La dinámica de fluidos tiene tanto una imagen lagrangiana y otra euleriana . (Nótese que la palabra Lagrangiano se utiliza en dos sentidos diferentes). En el contexto relativista, existe también la cuestión de una formulación manifiestamente invariante de Lorentz.

3. He aquí la formulación lagrangiana relativista más sencilla (con simetría de Lorentz pero sin simetría de Lorentz manifiesta). Esto se reduce esencialmente a la sustitución de sumas discretas en la mecánica puntual por integrales continuas en la teoría de campos. Ponemos la velocidad de la luz $c=1$ a uno para simplificar. El campo de 3 posiciones ${\bf r}:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ depende de una variable de etiquetado continua ${\bf a}\in\mathbb{R}^3$ y el tiempo $t\in\mathbb{R}$ . La acción se convierte en $$ S[{\bf r}] ~=~ \left. \int \! dt~ d^3a~ {\cal L}({\bf r}({\bf a},t),{\bf v}({\bf a},t),{\bf a} ,t) \right|_{{\bf v}=\dot{\bf r}} \quad,\tag{1} $$ donde la densidad lagrangiana es $$ {\cal L}({\bf r}({\bf a},t),{\bf v}({\bf a},t),{\bf a} ,t) ~=~ -\frac{\mu({\bf a})}{\gamma({\bf v}({\bf a},t))} -\rho({\bf a})~\phi({\bf r}({\bf a},t),t)+\rho({\bf a})~{\bf v}({\bf a},t)\cdot{\bf A}({\bf r}({\bf a},t),t) ,\tag{2}$$ y donde $$\gamma({\bf v})~:=~\frac{1}{\sqrt{1-{\bf v}^2}}\tag{3}$$ es el factor gamma. La masa en reposo $m(\Omega)$ y la carga $Q(\Omega)$ en una región $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$ del etiquetado del espacio 3 viene dado por $$ m(\Omega) ~=~ \int_{\Omega} \! d^3a~\mu({\bf a})\quad\text{and}\quad Q(\Omega) ~=~ \int_{\Omega} \! d^3a~\rho({\bf a}),\tag{4}$$ respectivamente.

4. La formulación euleriana es más complicada (ya en el caso no relativista) debido a la simetría gauge del etiquetado, cf. por ejemplo este El post de Phys.SE y sus referencias. Si el tiempo lo permite, podría escribir la formulación euleriana explícitamente en una futura actualización.