¿Por qué es $\{(x,y)\mid x-y\text{ is a rational number}\}$ una relación de equivalencia y por qué se $\{(x,y)\mid x-y\text{ is a irrational number}\}$ $\{(x,y)\mid x+y\text{ is an integer}\}$ no?
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Michael Hardy
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El segundo es no reflexiva desde $x-x$ no es irracional. Además no es transitiva, ya que uno puede tener $x-y$ $y-z$ irracionales mientras se $x-z$ es racional. Que pasa si $y=0$, $x=\pi$, y $z=10$.
La tercera no es reflexiva desde $x+x$ puede no ser un número entero, como, por ejemplo, cuando se $x=1/3$. También es no transitiva: considere lo que sucede cuando $x=1/3$, $y=2/3$, y $z=1/3$. A continuación, $x+y$ $y+z$ son enteros y $x+z$ no lo es.
El primero es reflexiva porque $x-x$ es racional, transitiva porque si $x-y$ $y - z$ son racionales, entonces también lo es $x-z$ (debido a $x-z$ es sólo la suma de los otros dos, y la suma de dos números racionales es racional). Es simétrica ya que si $x-y$ es racional lo es $y-x$.
Dipendra
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Para el primero:
(1) x - x = 0 $\in \mathbb{Q} $
(2) si $ x - y = p \in \mathbb{Q} \ then \ y - x = -p \in \mathbb{Q} $
(3) si $ x-y = p; y-z=q; p,q \in \mathbb{Q} \ then \ x - z = x -y +y -z = p+q \in \mathbb{Q}$
Para la segunda no la condición 1 y 3 (la suma de dos irrationals puede ser racional); para el tercero también fallar la condición 1 (como TooOldForMath señaló) y 3.
