Probar que si $p|x^p+y^p$ $p^2|x^p+y^p$

Question

Puedo mostrar que $5|x^5+y^5$, considerando a $(x+y)^5$ y el uso de binomio de expansión. Pero no estoy seguro de cómo mostrar que $25|x^5+y^5$.

Más en general, si p es un primo y $p>2$, ¿cómo puedo probar que si $p|x^p+y^p$$p^2|x^p+y^p$?

Answer 1

Aviso para todos los prime $p$ y entero $n$, $p | n^p - n$. En particular, $p | x^p - x$$p | y^p - y$. Esto significa

$$p|x^p + y^p\quad\implies\quad p|x+y$$

Escribir $x+y$ $mp$ para algunos entero $m$, tenemos $$\begin{align} x^p + y^p &= x^p + (mp-x)^p\\ &= x^p + (-x)^p + \binom{p}{1}(mp)(-x)^{p-1} + (mp)^2\left(\sum_{k=2}^p\binom{p}{k}(mp)^{k-2}(-x)^{p-k}\right) \end{align}$$

Al $p$ es un primer $> 2$, $p$ será raro y los dos primeros términos se anulan. El tercer término es un múltiplo de a $p^2$ porque $\binom{p}{1}(mp) = mp^2$. Para el resto, es un múltiplo de a $p^2$ a causa de la total $(mp)^2$ factor.

Answer 2

Asumiendo $x,y\in \mathbb{Z}$, si tenemos $5\mid x^5 + y^5$, por la expansión binomial de ello se sigue que $5\mid (x+y)^5$. Pero por descomposición en factores primos, es obvio que $5^5\mid (x+y)^5$ y, por tanto,$25\mid (x+y)^5$. A ver que $25\mid x^5 + y^5$, es suficiente para demostrar que $5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4$ es divisible por $25$ o, equivalentemente, $(x^3 +2x^2y + 2xy^2 +y^3)$ es divisible por 5.

Hacer esto por la fuerza bruta de verificación por pares $(x,y)= (1,9) \mod 10$, $(x,y)= (2,8) \mod 10$, $(x,y)= (3,7) \mod 10$, $(x,y)= (4,6) \mod 10$, $(x,y)= (5,0) \mod 10$. [$\mod 10$ estas son las únicas soluciones posibles]