Resolución de una ecuación diofantina en tres variables como ecuación paramétrica en una variable

Question

Digamos que $a$ , $b$ y $c$ son números enteros tales que $$(b^2+2)^2=(a^2+2c^2)(bc-a). \tag{$ \N - La estrella $}$$ Por la búsqueda de fuerza bruta, creo que he descubierto que $$(a,b,c)=(5d+1,3d+1,d+2), \qquad d=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$$ Ciertamente esa condición se satisface ( $\star$ ), ya que al conectarse a cualquiera de los dos lados se obtiene $$81d^4+108d^3+90d^2+36d+9 = 81d^4+108d^3+90d^2+36d+9,$$ como se desee.

PREGUNTA: ¿Cómo puedo probar esas son las únicas soluciones a ( $\star$ )?

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EDITAR : Obsérvese que la "solución" existente equivale a decir que $$(a,b,c)=(5c-9,3c-5,c), \qquad c=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$$ son todas soluciones. Es decir, si $c$ es cualquier número entero que satisface ( $\star$ ), entonces $(a,b)=(5c-9,3c-5)$ completa una solución de ( $\star$ ). ¿Constituye esto "condiciones necesarias y suficientes" para ( $\star$ ), o tengo que demostrar que no puede haber otras soluciones posibles?

Answer 1

La solución entera completa viene dada por \begin{align} \tag{$\dagger$} (a_1,b,c) &= (5c-9,3c-5,c) &&\text{and}& (a_2,b,c) &= (-5c-9,3c+5,c), \end{align} y las ocho soluciones de adición \begin{equation} (a_3,b,c) \in \{(-9,\pm 9,\mp 3),\, (3,\pm 15,\mp 1)\, (-117,\pm 15,\mp 9),\, (-1089,\pm 41,\mp 27)\}, \end{equation} donde $b$ y $c$ tomar los signos superiores o inferiores juntos.

Prueba: Fijar $c$ sea un número entero cualquiera. Entonces ( $\star$ ) es una cúbica en $a$ y, por lo tanto, tiene tres raíces. Claramente, dos (digamos $a_1$ y $a_2$ ) vienen dadas por la solución paramétrica ( $\dagger$ ). Dado que ambos son números enteros (y por tanto reales), el cúbico ( $\star$ ) debe tener tres raíces reales. Para encontrar la tercera, utilizamos $a_1$ y $a_2$ junto con las fórmulas de Vieta que relacionan las tres raíces de una cúbica, lo que da las ocho soluciones adicionales.

EDIT: Aunque este método parece dar como resultado la respuesta correcta, creo que puede haber un fallo En concreto, para considerar ( $\star$ ) como un cúbico en $a$ es probable que debemos arreglar ambos $c$ y $b$ no sólo $c$ .