¿Por qué la S-matrix unitarity implican la sección transversal $\sigma$ $\propto$ $\frac {1}{s}$?

Question

Actualmente estoy aprendiendo para un examen oral en la física teórica y como una ayuda de aprendizaje de los protocolos de los mayores existen exámenes. En un protocolo hizo la siguiente pregunta:

¿Por qué es la sección transversal de dispersión $\sigma$ al menos proporcional a $\frac {1}{s}$. La respuesta correcta era que este es el caso, porque la S-Matrix es unitaria. Además, en la respuesta se mencionó, que el $M$, que se define como de costumbre por $S= 1 + i (2 \pi)^4 \delta(...) M$ está restringido debido a $S$ es unitaria.

¿Alguien tiene una idea de donde puedo leer sobre esto? He buscado en bastantes libros, pero no fue capaz de encontrar cualquier cosa relacionada. (Entiendo que debe ser unitario y conocer la relación entre la sección transversal y la S-matrix)

Cualquier idea o explicación sería impresionante!

Answer 1

Me pregunto si esto puede ser de alguna ayuda.

La óptica teorema relaciona el total de la sección transversal de dispersión con la dispersión de amplitud. Por ejemplo, para un $2\to2$ dispersión se obtiene que:

$\left\langle n\left|S\right|m\right\rangle \equiv\delta_{mn}+i\left(2\pi\right)^{4}\delta^{4}\left(p_{m}^{\mu}-p_{n}^{\mu}\right)\left\langle n\left|\mathcal{T}\right|m\right\rangle $

$\sigma_{t}^{12}=\frac{1}{2\vert p_{1}\vert\sqrt{s}}\mbox{Im}\left\langle n\left|\mathcal{T}\right|n\right\rangle$

Lo que se llama la amplitud de la se $\mathcal{A}(s,t)=\left\langle n\left|\mathcal{T}\right|m\right\rangle $. En el Mandelstan variables de la óptica teorema dice:

$\sigma_{t}^{12}=\frac{1}{2\vert p_{1}\vert\sqrt{s}}\mbox{Im}\mathcal{A}\left(s,t=0\right)$

Esto es una consecuencia de unitarity y no es difícil de demostrar. Uno puede decir, entonces, que $p_1\sim\sqrt{s}$, al menos en el Regge límite, por tanto, para una amplitud constante $\sigma_t\sim \frac{1}{s}$. Yo creo que más tarde puede argumentar que es no físico para obtener las amplitudes que crece con exponentes negativos de $s$.