Es allí una manera elegante para demostrar que (por ejemplo) $x^{2016}-1008x^2+1007\ge 0$ $\forall x\in \mathbb{R}$ ? He tratado de escribir como la suma de los cuadrados, pero no tuve éxito.
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Anthony Cramp
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Cualquier polinomio real que es $\ge 0$ sobre la recta real es la suma de los cuadrados de los reales de polinomios. Pero sólo porque es cierto, no significa que no se puede hacer de una manera elegante.
Supongamos que estamos probando esto por inducción sobre el grado, y ya lo hemos hecho hasta el grado de 2015. Entonces llegamos a este polinomio $P(x) = x^{2016}-1008x^2+1007$. Como Abel mostró, polinomio $P$ valor mínimo $0$$x=1$. Porque es un mínimo, en el hecho de $x=1$ es una (al menos) el doble de la raíz. Por lo $P(x) = (x-1)^2Q(x)$. Ahora (por nuestra hipótesis de inducción) desde $Q$ es no negativa en todas partes, es una suma de cuadrados, por lo que la multiplicación de que la descomposición por $(x-1)^2$, se obtiene una descomposición de $P$ como una suma de cuadrados.
El otro tipo de paso en la perspectiva de la prueba sería un caso en el que el polinomio tiene positivo mínimo. Entonces es positivo (de ahí plaza) constante, además de un polinomio con un mínimo de cero y, a continuación, proceder como se indicó anteriormente.
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Alternativamente, una metodología analítica:
Le permite llamar a su polinomio $P(x) = 2^{2016}-1008x^2+1007$.
Desde $\lim_{x\to\pm\infty} P(x) = \infty$, $P$ tiene un mínimo global.
Para encontrar este mínimo global encontramos las raíces de $P^\prime$.
$P^\prime(x) = 2016x^{2015}-2016x = 2016x(x^{2014}-1)$, las raíces de las cuales se $x=0$$x=\pm1$. La evaluación de $P(0)$ da $1007$$P(\pm1)=0$, por lo tanto el mínimo global de $P$$0$, que es exactamente lo que quería mostrar.
