Tengo un problema con la cola de eventos. En la parte superior de la página 19 de Stefan Grosskinsky de notas de la conferencia, se señala que el $A := \{\omega: \lim_{n\rightarrow\infty}X_n(\omega) \text{ exists}\}$ es una cola de eventos, donde $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ son variables aleatorias definidas sobre probablemente espacio de $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$, tomando valores en $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ donde $\mathcal{B}$ es el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$. Refiérase a la parte inferior de la página 18 para la definición de la cola de eventos. Mientras que esto ciertamente suena intuitiva, quería ver si me puede mostrar de forma más rigurosa cómo esto es verdad. Necesito mostrar que $$\forall M \in \mathbb{N}, \quad A \in \mathcal{T}_M,$$ where $\mathcal{T}_M := \sigma(X_{M+1}^{-1}(\mathcal{B}), X_{M+2}^{-1}(\mathcal{B}), \ldots)$.
Me doy cuenta de lo siguiente. \begin{equation*} \begin{split} A &= \{\omega: \exists c \in \mathbb{R}, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, X_n(\omega) \in (c-\epsilon, c+\epsilon)\} \\ &= \bigcup_{c \in \mathbb{R}} \bigcap_{\epsilon > 0} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n > N} X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon). \end{split} \end{ecuación*} Después de una larga noche de lucha me las arreglé para convencer a mí mismo de la siguiente. Voy a rozar los detalles por ahora, pero que por favor no me pregunte para más detalles si usted está interesado. Ciertamente, $X_n^{-1} (c-\epsilon, c+\epsilon) \in X_n^{-1}(\mathcal{B})$ por cada $n \in \mathbb{N}$. Así que para un determinado $N \in \mathbb{N}$,$\bigcap_{n>N}X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon) \in \sigma(X_{N+1}^{-1}(\mathcal{B}), X_{N+2}^{-1}(\mathcal{B}), \ldots) := \mathcal{T}_N$, por definición de $\sigma$-álgebra (en particular el cierre de $\sigma$-algebrae bajo contables intersecciones). Observe que $\bigcap_{n>N}X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon)$ tiende \emph {} como $N \rightarrow \infty$. Así $$\bigcup_{N\in\mathbb{N}} \bigcap_{n>N}X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon) = \lim_{N \rightarrow \infty} \bigcap_{n>N}X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon),$$ and so it is certainly a member of $\mathcal{T}_M$ for any finite $M \in \mathbb{N}$. So far so good, we have shown that $\forall M \in \mathbb{N}$, $\bigcup_{N\in\mathbb{N}} \bigcap_{n>N}X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon) \in \mathcal{T}_M$. Now we only need to deal with the $\bigcap_{\epsilon>0}$ and the $\bigcup_{c \in \mathbb{R}}$, bearing in mind however that $\sigma$-algebrae are closed under \emph{countable} intersections and unions, and that $\bigcap_{\epsilon>0}$ and $\bigcup_{c \in \mathbb{R}}$ are uncountable union and intersection. I can see that the intersection $\bigcap_{\epsilon > 0}$ can be changed to a countable intersection $\bigcap_{\epsilon \in \mathbb{Q}, \epsilon > 0}$ without changing the set. That is, for a fixed $c \in \mathbb{R}$, we have $$\bigcap_{\epsilon > 0} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n > N} X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon) = \bigcap_{\epsilon \in \mathbb{Q}, \epsilon > 0} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n > N} X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon).$$ Again, please ask me for details if you're interested but I won't go into it here. Now comes the key point. First (for short-hand notation) define $$A_c := \bigcap_{\epsilon > 0} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n > N} X_n^{-1}(c-\epsilon, c+\epsilon)$$ for each $c \in \mathbb{R}$. I can't turn the \emph{uncountable} union $\bigcup_{c \in \mathbb{R}}$ into a \emph{countable} one. That is, it seems to me that $$\bigcup_{c \in \mathbb{R}} A_c \neq \bigcup_{c \in \mathbb{Q}} A_c.$$ For example, think about the event that $X_n$ tend to an irrational number. So it seems to me that, at least from this analysis, we cannot say that $Una := \{\omega: \lim_{n\rightarrow\infty}X_n(\omega) \text{ existe}\}$ is a member of $\mathcal{T}_M$ (or indeed the tail $\sigma$-algebra $\mathcal{T}$). At most we can say that $\{\omega: \lim_{n\rightarrow\infty}X_n(\omega) \text{ existe en }\mathbb{Q}\}$ is a member of $\mathcal{T}_M$ for every $M \in \mathbb{N}$ (and so is in $\mathcal{T}$).
Estoy equivocado? Es mi análisis de malo? Por favor, no dude en preguntar para ampliar cualquier parte de este. Este es un largo y complicado (tediosos más) pregunta que yo me sé. Me gustaría realmente aprecio cualquier ayuda. Muchas gracias por su tiempo!
