¿Qué significa "factores a través" en este contexto?

Question

Estoy tratando de entender la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra en el Teorema 3.7 aquí .

Sin embargo, no puedo entender esta frase

Si $p(z)$ no tiene ninguna raíz, el mapa $p|_{S1(R)}$ factores a través del plano complejo $\mathbb{C}$ y por lo tanto es nulo-homotópico (como $\mathbb{C}$ se puede contraer).

Sé que $\mathbb{C}$ es convexo por lo que si $p$ es un mapa hacia $\mathbb{C}$ entonces es homotópico a cualquier otro mapa en $\mathbb{C}$ . ¿Ayuda esto? También seguramente cualquier mapa en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ es un mapa hacia $\mathbb{C}$ . ¡¿No hace esto que todo sea vacuo?!

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Si $p(z)$ no tiene ninguna raíz, entonces define un mapa $\mathbb C \to \mathbb C - \{0\}$ . Por lo tanto, en este caso podemos escribir $p\vert_{S^1(R)}$ como composición $$ S^1(R) \stackrel{i}{\to} \mathbb C \stackrel{p(z)}{\to} \mathbb C - \{0\} $$ donde el primer mapa es la inclusión. Dado que $\mathbb C$ es contraíble, el mapa $p(z)$ es nulo-homotópico por lo que la composición, que es $p\vert_{S^1(R)}$ también es nulo-homotópico.

La razón por la que se llama factorización es que hemos descompuesto el mapa original $p\vert_{S^1(R)}$ en una composición $p\circ i$ .

Tenga en cuenta que aunque $p$ tiene raíces, $p\vert_{S^1(R)}$ sigue siendo $p \circ i$ pero ahora las funciones en la homotopía pueden tener 0 como valor.