Si $x^2+ax-3x-(a+2)=0\;,$ $ \min\left(\frac{a^2+1}{a^2+2}\right)$

Question

Si $x^2+ax-3x-(a+2)=0\;,$ $\displaystyle \min\left(\frac{a^2+1}{a^2+2}\right)$

$\bf{My\; Try::}$ $x^2+ax-3x-(a+2)=0\Leftrightarrow ax-a = -(x^2-3x-2)$

Así, obtenemos $$a=\frac{x^2-3x-2}{1-x} = \frac{x^2-2x+1+1-x-4}{1-x} = \left[1-x-\frac{4}{1-x}+1\right]$$

Ahora $$f(a) = \frac{a^2+1}{a^2+2} = \frac{a^2+2-1}{a^2+2} = 1-\frac{1}{a^2+2}$$

Por lo $$f(x) = 1-\frac{1}{\left[(1-x)-\frac{4}{1-x}+1\right]^2+2}$$

Ahora pon $1-x=t\;,$ a Continuación se obtienen $$f(t) =1- \frac{1}{\left(t-\frac{4}{t}+1\right)^2+2}$$

Ahora, ¿Cómo puedo maximizar $\displaystyle \frac{1}{\left[(1-x)-\frac{4}{1-x}+1\right]^2+2, }\;,$ Ayuda Necesaria, Gracias

Answer 1

Escribir $$ \frac{a^2+1}{a^2+2}=1-\frac{1}{a^2+2} $$ Para reducir este es el mismo como la maximización de la $1/(a^2+2)$, lo que, a su vez, es el mismo que minimizar $a^2+2$ o, así, minimizar $a^2$.

Desde $$ a=-\frac{x^2-3x-2}{x-1} $$ el valor mínimo de $a^2$ se obtiene al $x^2-3x-2=0$.

Answer 2

Minimizar $1 - \frac{1}{(t - \frac 4t +1)^2 + 2}$ es equivalente a minimizar $(t - \frac 4t +1)^2 + 2$. Pero, obviamente, el valor mínimo para este es $2$, como el cuadrado de un número es siempre mayor que $0$. Para encontrar el valor que minimiza la que acaba de solucionar $t- \frac4t + 1 = 0$

Answer 3

Su función será máxima cuando el denominador será mínimo.

Así, su trabajo será para calcular el $$\frac{d}{dx}\left[\left\{(1-x)-\frac{4}{1-x}+1\right\}^2+1\right]=0$$

Se va a venir abajo a $$2\left\{(1-x)-\frac{4}{1-x}+1\right\}\left\{-1-\frac{4}{(1-x)^2}\right\}=0$$ Esto dará lugar a $2$ de los casos.

Caso-$1$:

$$-1-\frac{4}{(1-x)^2}=0 \Rightarrow x \not \in \mathbb{R}$$

Por lo tanto $-1-\frac{4}{(1-x)^2}\not =0$ real $x$.

Caso-$2$:

$$(1-x)-\frac{4}{1-x}+1=0$$ $$(1-x)^2+(1-x)-4=0$$

Por lo $$1-x=\frac{-1\pm \sqrt{1+16}}{2}=\frac{\sqrt{17}\pm 1}{2}$$ O $$x=1-\frac{\sqrt{17}\pm 1}{2}$$

Esto le dará $2$ valores de $x$.

Calcular $\frac{d^2}{dx^2}\left[\left\{(1-x)-\frac{4}{1-x}+1\right\}^2+1\right]$ y compruebe que el valor de $x$, la expresión viene a ser positivo.

Que es donde la función es minimizar, o, en su función real es maximizada.

Espero que esto ayude.

Answer 4

no es un método de la escuela.

desde $\frac{a^2+1}{a^2+2}$ es una función par, y es decreciente cuando se $x \lt 0$, y el aumento de al $x \gt 0$, todo lo que tenemos que hacer es encontrar el mínimo valor de $\mid a \mid$.

desde $x^2 + (a - 3) x - (a - 2) = 0$ tiene raíz(s) como número real(s), se sigue que $$ \Delta = (a - 3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) \geq 0 $$

así que tenemos $a^2 - 2a + 1 \geq 0$, y el valor mínimo de $a$ $0$

de modo que el valor mínimo de $\frac{a^2+1}{a^2+2}$ $\frac{1}{2}$