Encuentre todas las funciones continuas$f$ en$\mathbb{R}$ que satisface$f(x)=f(\sin x)$ para todos$x$.

Question

Encuentre todas las funciones continuas$f$ en$\mathbb{R}$ que satisface$f(x)=f(\sin x)$ para todos$x$.

Answer 1

$f(x)$ debe ser constante.

Debemos tener eso si$x_1 = x$ y$x_{n+1} = \sin x_n$, entonces$f(x_{n+1}) = f(x_n) = f(x_{n-1}) \dots = f(x)$

No fue $x_n \to 0$. Por lo tanto$n \to \infty$

Answer 2

Para aquellos de ustedes que se preguntan por qué la secuencia$x_{n+1} = \sin x_n$ tiende a cero, tenga en cuenta que después de la primera aplicación de seno, obtenemos un número en el intervalo$[-1,1]$, y de ahí en adelante, los números mantienen su signo. , y se acercan monótonamente a cero (ya que$|\sin x| \leq |x|$). Por lo tanto, la secuencia debe aproximarse a un límite, que también es un punto fijo de la función seno. El único punto fijo del seno es cero.

Answer 3

Por cada$x$,$\sin(\sin(\sin...\sin(x)...))$ (n-times) va a cero a medida que$n$ va al infinito, entonces por continuidad f (x) = 0 $f(x)=f(0)$.