Demuestre que el determinante de$\small\begin{pmatrix}2 & 2 & 8\\ 3& 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$ es divisible por$19$

Question

Usando eso, los números $ 228, 323 $ y$456$ son divisibles por$19$. Demuestre que el determinante de la matriz$\begin{pmatrix}2 & 2 & 8\\ 3& 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$ es divisible por$19$.

Answer 1

Deje que$C_1,C_2,C_3$ sean las columnas, desea encontrar el determinante de la matriz$(C_1,C_2,C_3)$. Es el mismo que el determinante de la matriz$(C_1,C_2,C_3+10C_2+100C_1)$. Los elementos de la última columna de esta matriz son todos divisibles entre$19$.

Answer 2

PS

Answer 3

Hay una forma alternativa y quizás más fácil de probar el resultado, con la eliminación de Gauss.

Considere la matriz con coeficientes superiores a$\mathbb{Z}/19\mathbb{Z}$; la inversa de$2$ es$10$, así que \begin{align} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 8 \\ 3 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {bmatrix} & \ to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {bmatrix} && R_1 \ obtiene 10R_1 \\ & \ to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & 9 \end { bmatrix} && \begin{aligned}R_2\gets R_2-2R_1\\R_3\gets R_3-4R_1\end {alineado} \ end {align} que claramente tiene rango$2$, por lo que su determinante es$0$.