Otra pregunta de álgebra lineal.

Question

No tengo idea de cómo empezar la siguiente pregunta. Cualquier ayuda será apreciada.

(a) Deje que$A$ sea una matriz$n\times n$ y que$a_1,...,a_n$ sean las filas de$A.$ Supongamos que$y=(y_1, ..., y_n)$ es tal que$y_1a_1 + . . . + y_na_n = 0$. Pruebalo, $∀x ∈ \mathbb{R}^n$, $Ax · y = 0.$

(b) Para$n≥2$, encuentre un% nulo$n×n$ matrix$A$ tal que$∀x ∈ \mathbb{R}^n, Ax·x=0.$

Answer 1

(a) La condición de $y$ significa exactamente que $$y^TA=0.$$ i.e. we find the null row vector when we left multiply $Un$ by the row vector $y^T$. Note that by $y^T$ I mean the row vector written horizontally when involved in matrix multiplication, while $$ y sería el vector columna escrita verticalmente.

Ahora recuerdo que, por definición, el producto interior que alude a es$$v\cdot w=\sum_{j=1}^nv_jw_j=v^Tw=w^Tv$$, donde el derecho de remolque términos denotar la multiplicación de la matriz (más precisamente, en este caso, un vector de fila a la izquierda de veces un vector columna con el mismo tamaño en el derecho, por lo tanto, un número real).

Por lo tanto para cada $x$, tenemos $$Ax\cdot y=y^T(Ax)=(y^TA)x=0x=0.$$

(b) Aquí es una $2\times 2$ ejemplo $$ \left(\matriz{0&1\\-1&0}\right) $$ Extender por $0$ para obtener una $n\times n$ ejemplo para cada $n\geq 2$.

Answer 2

Aquí hay una pista para el primero. Escribe la combinación lineal$y_1 a_1 + \dots+y_n a_n =A^Ty$. Una vez que vea cómo esto ayuda a la primera, debería ver cómo el pensar en$A$ y$A^T$ resuelve la segunda.