aplicación del lema de Ito

Question

Estoy confundido sobre cómo aplicar la fórmula de Ito en ciertos problemas, especialmente cuando hay expectativas involucradas. Por ejemplo, si $W_t$ es un proceso Wiener y $X_t$ satisface una SDE inferior:

$ dX_t = (X_t-\mu)dt + \sigma\sqrt{X_t}dW_t,~~ X_0 = x_o$

¿Cómo puedo encontrar $\partial_t \phi$ o $\partial_\xi \phi$ donde $\phi(t,\xi)=E[e^{i\xi X_t}]$ es la función característica de $X_t$ ?

No entiendo muy bien cómo enfocar este problema. ¿Debo resolver primero la SDE para $X_t$ y, a continuación, calcular la expectativa $E[e^{i\xi X_t}]$ y luego aplicar el Lemma de Ito para encontrar $\partial_t\phi$ ?

Dando un paso más, ¿cómo calcularía $\partial_t\psi$ donde $\psi(t,\xi)=\ln\phi(t,\xi)$ y resolver la SDE resultante para $\psi(t,\xi)$ ?

Referencia: El lema de Ito

Answer 1

Prueba este enfoque:

Para la derivada parcial con respecto a $\xi$ ,

$$\partial_{\xi}\phi(t,\xi)=i\mathbb{E}\left[X_t e^{i\xi X_t}\right] \; .$$

Para la derivada parcial con respecto a $t$ , tomaré el diferencial pero sólo variando t, para conectar con el SDE:

$$d_t\phi(t,\xi)=\mathbb{E}\left[e^{i\xi (X_t+dX_t)} - e^{i\xi X_t}\right]=\mathbb{E}\left[(i\xi dX_t-\frac{\xi^2}{2}dX_t^2)e^{i\xi X_t}\right] \; .$$

Ahora

$$ dX_t = (X_t - \mu) dt + \sigma \sqrt{X_t}dW_t $$

y

$$ dX_t^2 = \sigma^2 X_t dt $$

Esto implica

$$d_t\phi(t,\xi)=i\xi \mathbb{E}\left[dX_t e^{i\xi X_t}\right]-\frac{\xi^2}{2}\mathbb{E}\left[dX_t^2 e^{i\xi X_t}\right] $$

y por lo tanto

$$d_t\phi(t,\xi)=i\xi \mathbb{E}\left[(X_t-\mu) e^{i\xi X_t}\right]dt+i\xi \mathbb{E}\left[\sqrt{X_t} dW_t e^{i\xi X_t}\right]-\frac{\sigma^2 \xi^2}{2}\mathbb{E}\left[X_t e^{i\xi X_t}\right]dt $$

Ahora, el término medio contiene $dW_t$ En consecuencia, si se toma su expectativa se obtiene cero. Ahora se puede reconocer que los otros términos contienen $\phi$ o $\partial_{\xi}\phi$ Así que tienes una EDP ordinaria para $\phi$ . Ese debería ser el objetivo del cómputo.