Las bisectrices externas de los ángulos del triángulo ABC forman un triángulo$A_1B_1C_1$ y así sucesivamente

Question

Si las bisectrices exteriores de los ángulos del triángulo ABC que se forma un triángulo $A_1B_1C_1$,si las bisectrices exteriores de los ángulos del triángulo $A_1B_1C_1$ forma un triángulo $A_2B_2C_2$,y así sucesivamente,muestran que el ángulo de $A_n$ de la $n$th derivados triángulo es $\frac{\pi}{3}+(-\frac{1}{2})^n(A-\frac{\pi}{3})$,y que los triángulos tienden a ser equilátero.

Mi intento:El ángulo de $A_1$ de triángulo $A_1B_1C_1$$\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}$, ángulo de $A_2$ de triángulo $A_2B_2C_2$ $\frac{A}{4}-\frac{3\pi}{4}$ pero mi respuesta es en ningún aspecto se asemeja a la respuesta final.Es mi enfoque correcto.Si no, ¿cuál es la forma correcta de resolver esta cuestión?Puede que alguien me guíe?

Answer 1

Usted está en el camino correcto, usted solo necesita continuar. Usted tiene la fórmula correcta para $A_1$, por lo que un formato diferente.

$$\begin{align} A_1 &= \frac{\pi}2-\frac A2 \quad\text{(your formula)}\\ &= \frac{\pi}3+\frac{\pi}6+\left(-\frac 12\right)A \\ &= \frac{\pi}3+\left(-\frac 12\right)\left(A-\frac{\pi}3\right) \\ &= \frac{\pi}3+\left(-\frac 12\right)^1\left(A-\frac{\pi}3\right) \\ \end{align}$$

Su fórmula para $A_1$ $A$ da $A_{n+1}$$A_n$, por lo que la combinación de su fórmula con mi derivación anterior y el uso de la inducción obtenemos

$$\begin{align} A_{n+1} &= \frac{\pi}3+\left(-\frac 12\right)\left(A_n-\frac{\pi}3\right) \\ &= \frac{\pi}3+\left(-\frac 12\right)\left[\frac{\pi}3+ \left(-\frac 12\right)^n\left(A-\frac{\pi}3\right)-\frac{\pi}3\right] \\ &= \frac{\pi}3+\left(-\frac 12\right)\left[ \left(-\frac 12\right)^n\left(A-\frac{\pi}3\right)\right] \\ &= \frac{\pi}3+\left(-\frac 12\right)^{n+1}\left(A-\frac{\pi}3\right) \\ \end{align}$$

lo cual termina la prueba por inducción.

Así que la fórmula es correcta. Como dejamos $n\to\infty$ vemos que $\left(-\frac 12\right)^n\to 0$ e lo $A_n\to\frac{\pi}3$. Podemos hacer lo mismo a $B$ $C$ conseguir $B_n\to\frac{\pi}3$$C_n\to\frac{\pi}3$, por lo que los tres ángulos de enfoque de $60°$, y el (cada vez mayor) los triángulos $\triangle A_nB_nC_n$ enfoque equilátero.

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Aquí hay una rápida prueba de su fórmula $A_1 = \frac{\pi}2-\frac A2$, a pesar de que he utilizado las letras griegas para los ángulos en este diagrama.

Esto debe explicarse por sí mismo, y el valor final de a $A_1= \frac{\pi}2-\frac A2$ proviene directamente de $A_1=\frac{\beta+\gamma}2$$\alpha+\beta+\gamma=\pi$.

Answer 2

Usted ya tiene una respuesta mostrando que sus cálculos eran correctos. Yo se centrará en cómo no se desanime acerca de un problema como este.

Su enfoque era una buena manera de empezar a trabajar en este problema. Trabajando los dos o tres primeros pasos, usted puede ver lo que los cálculos están involucrados. Su idea de la comparación de sus resultados con los resultados deseados también fue una buena. Se le da la oportunidad de comprobar usted mismo en caso de ir por un camino equivocado.

Pero si bien es cierto que los valores calculados, es decir, $A_1 = \frac{\pi}{2} - \frac A2$ $A_2 = \frac A4 - \frac{3\pi}{4}$ , no mirar mucho como $\frac{\pi}{3}+\left(-\frac12\right)^n \left(A - \frac{\pi}{3}\right)$, eso por sí solo no debería molestar a usted; fórmulas generales muy a menudo se ven muy diferentes de los resultados obtenidos por los cálculos directos. Eso es parte de lo que lo hizo tan interesante y útil cuando la gente descubrió tales fórmulas. A menudo se lleva a algunas obras de arte para "ver" un patrón en un secuencia de valores a partir de algún procedimiento como $A_1$, $A_2$, $A_3$, y así sucesivamente.

Por ejemplo, la suma de los primeros a $n$ enteros positivos es $\frac12(n^2 + n)$. Pero la suma de los primeros a $4$ enteros positivos es $1+2+3+4 = 10$, e $10$ no se parece a $\frac12(n^2 + n)$. No siquiera se parecen a $\frac12(4^2 + 4)$, pero resulta que si hacer las multiplicaciones y adiciones de la fórmula, puede ver que $\frac12(4^2 + 4) = \frac12(16 + 4) = \frac12(20) = 10$.

Es decir, en el fin de comparar un resultado particular de la tuya (los valores se encuentran por $A_1$$A_2$) en contra de la fórmula general, puede enchufar el valor apropiado de $n$ en la fórmula, hacer lo que las operaciones de la fórmula dice que hacer, y a ver qué sale. Por ejemplo, su propio cálculo encontró que $A_1 = \frac{\pi}{2} - \frac A2$. La fórmula general para $A_n$ debe producir $A_1$ al $n = 1$. Así que vamos a establecer $n = 1$ y ver qué pasa:

\begin{align} A_n & = \frac\pi3 + \left(-\frac12\right)^n \left(A - \frac\pi3\right) \\ A_1 & = \frac\pi3 + \left(-\frac12\right) \left(A - \frac\pi3\right) & \text{(because we set %#%#%)} \\ & = \frac\pi3 - \frac12 A + \frac\pi6 \\ & = \frac{\pi}{2} - \frac A2 \end{align}

Para el cálculo de $n = 1$ se ve bien. Para $A_1$, podemos establecer $A_2$:

\begin{align} A_n & = \frac\pi3 + \left(-\frac12\right)^n \left(A - \frac\pi3\right) \\ A_2 & = \frac\pi3 + \left(-\frac12\right)^2 \left(A - \frac\pi3\right) & \text{(because we set %#%#%)} \\ & = \frac\pi3 + \frac14 \left(A - \frac\pi3\right) \\ & = \frac\pi3 + \frac14 A - \frac{\pi}{12} \\ & = \frac\pi4 + \frac A4 \end{align}

Esta es una diferente de la de resultado $n = 2$ que se han calculado para $n = 2$. Así que tal vez hubo un problema con su método, o tal vez usted acaba de hacer un error aritmético.

Pero una vez que averiguar lo que está pasando con $\frac A4 - \frac{3\pi}{4}$, usted todavía necesita para probar el general fórmula para todas las $A_2$, y para que usted pueda necesitar algo así como la otra respuesta (que utiliza la inducción). Pero si usted puede ver cómo conseguir $A_2$ $n$ y de cómo llegar a $A_1$$A$, que puede ayudar cuando usted tiene que conseguir $A_2$$A_1$, como el inductivo prueba requiere.