¿Es esta prueba de continuidad de cada circular métrica?

Question

Supongamos que queremos mostrar todas las métricas definidas en $X$ es continuo, donde $X$ es arbitraria espacio métrico con la métrica $d$. Es decir, que yo quiero mostrar, que durante dos secuencias convergentes $x_n\rightarrow x$ $y_n \rightarrow y$ sostiene, que :

$$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_n,y_n)=d(x,y)$$

Prueba: Con algo de manipulación algebraica de la desigualdad de triángulo nosotros encontramos que para valores arbitrarios $a,b,c,e \in X$ sostiene que $$ |d(a,b)-d(c,e)|\leq d(a,c)+d(e,b)$$

y entonces se sigue que

$$ |d(x_n,y_n)-d(x,y)| \leq d(x_n,x)+d(y_n,y) $$

Ahora bien, si tomamos el límite de $n \rightarrow \infty$ se desprende de la la convergencia de $x_n$ $y_n$ que $ |d(x_n,y_n)-d(x,y)| \leq 0 $, de ahí el resultado.

Pero en el último paso, que estamos usando ese $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_n,x) = d(x,x)=0$, es decir, estamos implícitamente que el uso de la métrica es una asignación continua, por "tira" en el límite interior de la función.

Hace la prueba válida? Si sí, ¿cómo se puede evitar el razonamiento circular aquí?

Answer 1

Dado que el $(X,d)$ es un espacio métrico. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia en $X$$x \in X$, luego de la declaración de $``x_n \to x$ $n \to \infty"$ se define como $``d(x_n,x) \to 0$$n \to \infty"$, donde el último es con respecto a la norma de la continuidad de los reales.

En otras palabras, se tiene la siguiente equivalencia:

• $x_n \to x$ $n \to \infty$
• $\lim_{n \to \infty} d(x_n,x) = 0$

---

Ahora, como usted ha señalado, tenemos la desigualdad $|d(x_n,y_n) - d(x,y)| \leq d(x_n,x) + d(y_n,y)$. Usted puede pensar en el lado izquierdo y derecho como valor real de las secuencias, que sabemos cómo lidiar con.

Los límites de un valor real de secuencias de preservar estricto de las desigualdades y de las sumas, por lo tanto:

$$\lim_{n \to \infty} |d(x_n,y_n) - d(x,y)| \leq \lim_{n \to \infty} [d(x_n,x) + d(y_n,y)]$$ $$\lim_{n \to \infty} |d(x_n,y_n) - d(x,y)| \leq \lim_{n \to \infty} d(x_n,x) + \lim_{n \to \infty} d(y_n,y)$$

Por lo tanto,$\lim_{n \to \infty} |d(x_n,y_n) - d(x,y)| \leq 0$, por definición de la convergencia.

---

Sin embargo, para llegar al punto de tu pregunta, no se está utilizando razonamiento circular para uso $\lim_{n \to \infty} d(x_n,x) = 0$, pero no por $\lim_{n \to \infty} d(x_n,x) = d(\lim_{n \to \infty} x_n,x)$. Tenemos $\lim_{n \to \infty} d(x_n,x) = 0$ debido a que es la definición de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergentes a $x$.

Answer 2

Por favor nota: la Continuidad en la métrica de los espacios definidos a través de una métrica es equivalente a la definición topológica de la continuidad a través de la apertura de los conjuntos. Si eso es lo que usted está buscando, usted puede encontrar una prueba aquí.

Pero dada tu descripción creo que simplemente quieren probar la declaración: "para dos secuencias convergentes $x_n\rightarrow x$ $y_n \rightarrow y$ sostiene, que : $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_n,y_n)=d(x,y)$".

SUGERENCIA:

Dado que algunos $\epsilon > 0$ el uso de las propiedades de $d$, y el hecho de que $y_n \rightarrow y$ a demostrar que hay un $N_1,N_2 \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $z \in X$: $$n>N_1 \Rightarrow |d(y_n,z) - d(y,z)|<\frac{\epsilon}{6} \\ n>N_2 \Rightarrow |d(x_n,z) - d(x,z)|<\frac{\epsilon}{6}$$ A continuación, utilice el traingle inaequlity y para mostrar que $n>\max\{N_1,N_2\} \Rightarrow |d(x_n,y_n) - d(x,y)| < \epsilon$. Por definición, implica que el $d(x_n,y_n)$, como una secuencia en $\mathbb{R}$, converge a $d(x,y)$.