Sistema de ecuación con función de suelo.

Question

Estoy buscando una idea para resolver el siguiente sistema de ecuaciones. $$\begin{cases}x+y+\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor = 5.1\\x^2+y^2+\lfloor x^2\rfloor+\lfloor y^2\rfloor = 50.93\end{cases}$$ A mi juicio estaba a punto de conspirar juntos ,creo que dos soluciones existen aquí . Creo $$(-1.7,4.8),(4.8,-1.7)$$ es la solución con respecto a la gráfica de problemas. https://www.desmos.com/calculator/9mc2c6y0qd
Estoy interesado si había un método analítico...estoy agradecido por su Idea(s) .

$remark:$He probado también a poner $$x=n_x+p_x,y=n_y+p_y$$ pero se trata más complicado .

Answer 1

Podemos encontrar una amplia gama basado en la condición.

1. A partir de la primera ecuación, tenemos que: $$x+y + [x]+[y] = 5.1\\ 2(x+y) - (f_x+f_y) = 5.1$$ Basándose en el rango de $f$ que se encuentra en $[0,1)$, podemos decir que: $$x+y \in \left[\frac{5.1}{2}, \frac{7.1}{2}\right)$$

2. De manera similar a partir de la segunda ecuación, se puede deducir: $$x^2 + y^2 \in \left[\frac{50.93}{2}, \frac{52.93}{2}\right)$$

Básicamente, la primera condición da dos líneas y la segunda condición que se da a los dos círculos. La solución se encuentra en la zona atrapado entre estas curvas!

Encontrar la solución

Lo que yo estoy diciendo es que usted puede encontrar solución analíticamente. Considere la posibilidad de la primera zona. Usted puede encontrar las coordenadas de intersección del círculo y la línea recta analíticamente. Yo soy de gráficos para mostrar que el rango es muy pequeño:

Tenemos la suerte de que aquí, $y$ sólo se encuentra en $(4,5)$, de modo que $[y] = 4$. Pero $x$ se encuentra en $(-3,-1)$, por lo que debe tener en cuenta dos intervalos para la fijación de $[x]$.

1. $x\in (-3, -2)$. Así que aquí, $[x] = -3$. Esto nos da $x+y = 4.1$, lo cual no es posible.

2. $x \in [-2,-1)$. Así que aquí, $[x] = -2$. Esto nos da $x+y = 3.1$, que es posible.

Nosotros hemos reducido a$[x] = -2$$[y] = 4$. Ahora tenemos más casos de $[x^2]$$[y^2]$! El uso de nuestras condiciones obtenemos $1\le [x^2]\le 4$ y $16 \le [y^2] \lt 25$

Usando la segunda ecuación, debe tener $[x^2] + [y^2] \in (24.465,25.465)$. Por lo tanto $[x^2] + [y^2] = 25$. A partir de esto podemos obtener sólo tres posibles pares de $([x^2],[y^2])$, que se $(1,24), (2,23), (3,22)$

Por lo tanto sólo nos ocupamos de estos tres casos, y usted será capaz de resolverlo analíticamente!

Tomando nota también de que el sistema es simétrico en $x,y$, de modo que tenemos un número par de raíces.

Answer 2

Intenté esto: tenemos$$[x+y]=[x]+[y] \text{or }[x+y]=[x]+[y]+1$$ so ,if we take floor of the first equation $$x+y+[x]+[y]=5.1\\ [x+y]+[x]+[y]=5\\\begin{cases}[x]+[y]+[x]+[y]=5 & imposiible\\ [x]+[y]+1+[x]+[y]=5 \to & [x]+[y]=2\end{cases}$ $ si hacemos lo mismo para 2nd eq. tenemos $$ \ quad {[x ^ 2 + y ^ 2 + [x ^ 2] + [y ^ 2]] = [50.93] \\ [x ^ 2 + y ^ 2] + [x ^ 2] + [y ^ 2] = 50 \\ [x ^ 2] + [y ^ 2] -1+ [x ^ 2] + [y ^ 2] = 50 \ text {no aceptable} \\ [x ^ 2] + [y ^ 2] + [x ^ 2] + [y ^ 2] = 50 \\ [x ^ 2] + [y ^ 2] = 25 \ to x ^ 2 + y ^ 2 = 25.93 \ text {el único posibilidades} \\} $$ finalmente tenemos
Si decimos$s=x+y ,p=xy$
también de la primera:$x+y+[x]+[y]=5.1 ,[x]+[y]=2 \to x+y=3.1$$$\quad{\begin{cases}x+y=3.1\\x^2+y^2=25.93\end{cases}\\\begin{cases}s=3.1\\s^2-2p=25.93\end{cases}\\z^2-3.1z-8.16=0 \\z=-1.7\\z=4.8 \\so \\(x,y)=(4.8,-1.7),(-1.7,4.8)}$ $ ¿verdad?