La operación de imagen y distribuye más de los sindicatos:
$$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$$
pero acerca de las intersecciones sólo podemos decir que
$$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$$
a menos $f$ es inyectiva. ¿De dónde viene esta asimetría surgir?
La asimetría surge porque las funciones mismas son definidas de forma asimétrica.
Una función de $f$ se define de manera que:
Para que la definición de ser simétrico también nos gustaría necesidad
El segundo punto es exactamente la definición de inyectividad. (El primer punto es bien definedness.) De inyectividad es equivalente a la distributividad más de intersecciones (ver las otras respuestas a esta pregunta).
El hecho de que todas las funciones están bien definidas, que se corresponde con la distributividad sobre los sindicatos; el hecho de que no todas las funciones son inyectiva corresponde con la (falta de) distributividad más de intersecciones: aquellas funciones que hacer distribuir a través de todas las intersecciones son inyectiva.
Si $y\in f[A]\cup f[B]$, $y$ debe ser la imagen en $f$ de algo en $A$ o de algo en $B$, es decir, de algo en $A\cup B$. Si $y\in f[A]\cap f[B]$, por otro lado, sabemos que $y$ es la imagen de algunos de los $a\in A$ y la imagen de $b\in B$, pero no hay ninguna razón para suponer que $a$ $b$ son la misma cosa, o incluso que no hay nada de nada en $A\cap B$. Por supuesto, si $f$ es inyectiva (uno a uno), a continuación, $a$ $b$ ¿ tiene que ser la misma cosa, y en caso de conseguir la igualdad de $f[A\cap B]$$f[A]\cap f[B]$.
Yo diría que el diferente comportamiento no es tanto una cuestión de algunos inherente asimetría entre el $\cup$ $\cap$ como es una cuestión de cómo estas operaciones Booleanas interactuar con funciones arbitrarias.
Si $f:X\to Y$, $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ por cada $A,B\subseteq X$ es equivalente a $f$ ser inyectiva, de ahí la discrepancia en general. De nuevo $f(A\setminus B)=f(A)\setminus f(B)\iff\text{ injection }$, por lo que cuando se toma el complemento de su primera $\bigcup$ relación, la inyectividad se necesita para llegar a la otra expresión.
(Para la diversión,) voy a expresar la asimetría en el uso de la asimetría entre la izquierda y la derecha adjoints en la categoría de teoría. La idea principal es que la izquierda adjoints conmuta con colimits (y los sindicatos están colimits en estas categorías), pero no necesariamente los límites (y las intersecciones son los límites).
Deje $f:C\to D$ ser una función y deje $\mathscr C$ ser la categoría que representa el orden parcial en el juego de poder de $C$ dado por la inclusión. Del mismo modo, la construcción de la $\mathscr D$. Tenemos un functor $f:\mathscr C\to\mathscr D$ que asigna un conjunto de su imagen. La clave es que también "asigna" morfismos de morfismos, en otras palabras, se conserva el orden.
También definen $f^{-1}:\mathscr D\to\mathscr C$ mediante la asignación de un conjunto de su imagen inversa bajo $f$. Este también es el fin-la conservación, por lo que es un functor así.
Puedo reclamar $f$ es de izquierda adjunto a $f^{-1}$. Para cualquier subconjunto $S$$C$, tenemos tanto $S\subseteq f^{-1}fS$$ff^{-1}S\subseteq S$. Para ver el primero, tenga en cuenta que si $x\in S$,$f(x)\in fS$. La segunda es tautológica. Ahora, si $S\subseteq f^{-1}T$,$f^{-1}fS\subseteq f^{-1}(ff^{-1}T)\subseteq f^{-1}T$. Sólo nos mostró que la inclusión $S\subseteq f^{-1}fS$ es un universal de la flecha a$f^{-1}$$S$. La familia de flechas es claramente una transformación natural de la identidad functor en $\mathscr C$ para el compuesto functor $f^{-1}f$. Por lo tanto, $f\dashv f^{-1}$.
Desde la izquierda adjoints conmuta con colimits, y la unión es un colimit en $\mathscr C$,$f(S\cup T)=f(S)\cup f(T)$. Doblemente, a la derecha adjoints conmuta con límites, sino $f$ no es automáticamente un derecho adjuntos. Así que, nosotros no podemos decir $f(S\cap T)=f(S)\cap f(T)$. De hecho,
La proposición. Si $f:C\to D$ induce un derecho adjoint $f:\mathscr C\to\mathscr D$, $f$ es inyectiva.
Prueba. Deje $g:\mathscr D\to\mathscr C$ ser un functor de tal forma que si $S\subseteq D$ y $T\subseteq C$, $gS\subseteq T$ si y sólo si $S\subseteq fT$.
Supongamos, por el bien de la contradicción, que $x,y\in C$ son distintos elementos que $f(x)=f(y)$. Deje $T=\{x\}$ y deje $S=\{f(x)\}$. A continuación,$gS\subseteq\{x\}$. Del mismo modo $gS\subseteq\{y\}$ mediante el establecimiento $T=\{y\}$. Por lo tanto $gS=\emptyset$. En particular, $gS\subseteq C\setminus f^{-1}(f(x))$. Por lo tanto, $S\subseteq D\setminus \{f(x)\}$, una contradicción. $\square$
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