¿Qué es una subsecuencia en el cálculo?

Question

Por ejemplo, si tengo la secuencia$(1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots)$, es decir,$x(n) = n$ para todos los números naturales, ¿es la subsecuencia$(1,1,1,1,1...)$ válida? ¿O solo puedo tomar un elemento de la secuencia una vez? ¿La subsecuencia$(1,2,1,2,1,2...)$ sería una subsecuencia válida?

Gracias.

Answer 1

En matemáticas, una larga es una secuencia que puede ser derivada de otra secuencia mediante la eliminación de algunos elementos sin cambiar el orden de los elementos restantes

Formalmente, una larga de la secuencia de $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es cualquier secuencia de la forma $(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ donde $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ es estrictamente creciente secuencia de enteros positivos.

Por lo tanto, los dos ejemplos no son válidos, como $1$ aparece exactamente una vez en la secuencia original.

Sin embargo, si la secuencia original es $(1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots)$ $8$ números son periódicas, entonces sí, es válido larga.

Answer 2

Una secuencia de números reales es un mapa$x:\Bbb N\to\Bbb R$; normalmente lo escribimos como$n\mapsto x_n$ (en lugar de$n\mapsto x(n)$).

Una subsecuencia de esta secuencia es un mapa$y=x\circ\phi$ donde$\phi:\Bbb N\to \Bbb N$ es un mapa estrictamente creciente. Entonces $y_n=x_{\phi(n)}$. Ninguno de sus ejemplos es una subsecuencia de su secuencia dada que tiene$x_n=n$.

Answer 3

Esto puede ser más fácil de visualizar: escriba su secuencia (cualquier secuencia)$$7,8,5,6,4,4,5,7,7,7,7,8,7,3,2,6,1,2,6,2,8,3,3,2,3,\ldots$ $ Luego seleccione algunos elementos$$7,\underline{8},5,6,\underline{4},4,5,\underline{7},7,7,7,8,\underline{7},3,\underline{2},6,\underline{1},\underline{2},6,\underline{2},8,3,\underline{3},2,3,\ldots$ $ y borre el resto$$8,4,7,7,2,1,2,2,3,\ldots$ $ Eso es una subsecuencia ...

Answer 4

No.

Una subsecuencia es una secuencia tomada del original, donde los términos se seleccionan en el orden en que aparecen.

Por ejemplo, vamos a$x_n = \frac{1}{n}$. Tomemos una subsecuencia$x_{n_j}$ donde seleccionamos cada otro término, es decir

PS

Observe cómo estos términos en la subsecuencia se toman en el orden en que aparecen.

Answer 5

no debe preguntar si puede tomar solo un elemento de la secuencia una vez o no, ya que$(1,1,1,1.....)$ seguramente no es una subsecuencia de$(1,2,3,4,5.....)$, pero$(1,1,1,1,1,1.....)$ es una subsecuencia de$(-1,1,-1,1,-1,1.....)$. Por lo tanto, debe considerar su subsecuencia como si su secuencia original fuera decir$\{x(n)\}_{n=1}^\infty$, entonces su subsecuencia será cualquiera de la forma$\{x(n_i)\}_{i=1}^\infty$ para algunos$n_1<n_2<n_3.....$.