Orden de los elementos en la teoría de grupos.

Question

Primero de todo, soy nuevo en el Grupo de Teoría. Estoy tratando de entender cómo a la hora de determinar ciertas órdenes de los elementos de un grupo. Por ejemplo:

Indicar el orden de los siguientes elementos: $a=35_{42} \in \mathbb{Z}_{42} , \ b=(3_{27},(123)) \in \mathbb{Z}_{27}\times S_5$

Sé que el orden de un elemento $x$ de un grupo G es el menor valor positivo $k$ tal que $x^k=e_G$. Dado esto, puedo calcular para el elemento $a$:

$35^1=35$,

$35^2=28$,

$35^3=21$,

$35^4=14$,

$35^5=7$,

$35^6=42=0=e_G$

De modo que el orden de $a$$6$. Sin embargo no sé cómo utilizar este argumento para determinar el orden de $b=(3_{27},(123)) \in \mathbb{Z}_{27}\times S_5$

Answer 1

INSINUACIÓN

Si un elemento$b$ tiene el formato$(b_1, b_2)$ donde$b_1, b_2$ son de algunos grupos$G_1, G_2$, primero encuentre el orden de$b_1$ en$G_1$ y el orden de$b_2$ en$G_2$. Luego note que$b^k$ solo será la identidad de$G_1\times G_2$ si$b_1^k = e_{G_1}$ y$b_2^k = e_{G_2}$.

Answer 2

Usted sabe que$9 \cdot 3\mod 27=0$ y$(123)^3=Id$. Por lo tanto,$(3,(123))^9=(9\cdot 3,(123)^9)=(0,Id)$, que es el elemento neutral en$\mathbb{Z}_{27}\times S_5$. Así que claramente el orden de$(3,(123))$ está delimitado por$9$. Desde$8\cdot 3\mod 27\neq 0$, el pedido es$9$.

¿Hay alguna relación entre$9$ y$3$ que viene a la mente? Hay una regla general para determinar el orden de los elementos en sumas directas de grupos. Intenta jugar con diferentes órdenes para encontrar la respuesta.