Deje que$P$ sea un anillo no conmutativo con unidades,$M_n(P)$ sea un anillo de matrices con coeficientes en$P$. ¿Hay un ideal de dos caras$J$ en$M_n(P)$ que no tiene la forma$J=M_n(I)$, donde$I$ es un ideal de dos caras en$P$?
Gracias.
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user20998
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Usted dice $P$ dispone de unidades, así que voy a suponer que se tiene un $1$ (la forma correcta de decir que $P$ tiene unidades, es decir que es un anillo unitario).
Considere la matriz $E_{ij}$ a ser la matriz con ceros en todas partes, excepto en el $ij^{\text{th}}$ posición, donde vale la pena $1$. Es un rápido ejercicio de cálculo para mostrar que $E_{ij}AE_{k\ell}$ es una matriz cuyas $i\ell^{\text{th}}$ coeficiente de es $A_{jk}$.
Suponga $J$ es un dos-caras-ideal de $M_n(P)$ que es distinto de cero. Vamos
$$I = \{ x \in P \, | \, \exists A \in J \text{ such that } x = A_{ij} \text{ for some } i,j\in\{1,\cdots,n\}\},$$
es decir, $I$ es el conjunto de todos los posibles coeficientes de elementos en $J$. Nos muestran que $J = M_n(I)$. Uno de contención es clara : $J \subseteq M_n(I)$.
El próximo considerar un elemento $A \in M_n(I).$ Por cada $a_{ij}$ coeficiente de $A$, existe una matriz $J_{ij} \in J$ cuyas $k\ell^{\text{th}}$ coeficiente es, precisamente,$a_{ij}$, para algunas de las $k,\ell\in\{1,\cdots,n\}.$ Pero, a continuación, $E_{ik} J_{ij} E_{\ell j}$ es una matriz con ceros en todas partes, excepto en $(i,j)$, donde vale la pena $(J_{ij})_{k\ell} = a_{ij}$. Por lo tanto $$ A = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E_{ik} J_{ij} E_{\ell j} \in J $$ que da a la inversa de contención. En conclusión, no hay dos caras ideal de la forma en que usted solicita.
AÑADIDO : pensé que Matt respuesta fue muy particular y no muy comprensible por todos, así que pensé que de otro. El conjunto de matrices de la forma $$ \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_n \\ 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \\ \end{bmatrix} $$ forma un derecho ideal de $M_n(P)$, pero no a la izquierda ideal. Del mismo modo, el conjunto de todas las matrices cuadradas de la forma $$ \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n & 0 & \dots & 0 \\ \end{bmatrix} $$ forma una izquierda ideal, pero no un derecho ideal. Esto sólo funciona para los casos de $n > 1$, pero para $n=1$, todo depende de a $P$, así que no hay mucho que decir allí.
Espero que ayude,
Ben
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11
Deje que$E_{i,j}$ sea la matriz con$1$ en el lugar$(i,j)$ y$0$ en otros lugares.
Tenga en cuenta que para cualquier matriz$A$, tenemos que$E_{(i,j)}A E_{(k,l)}$ es una matriz con$0$ en todas partes, excepto en el lugar$(i,l)$, donde es igual a$A_{(j,k)}$ . De ello se deduce que si$I$ es cualquier ideal (¡a doble cara!) En$M_n(R)$, y$J$ es el conjunto de elementos de$R$ que forman parte de matrices en$I$, entonces$I$ contiene$M_n(J)$. Por supuesto,$I$ está contenido en$M_n(J)$, por lo que hay igualdad.
Tasha
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28
Sí, los hay. Probablemente, hay una simple respuesta de este, pero el primero que pensé fue si usted toma $P=KQ$ a ser el camino de álgebra de un carcaj $Q$, y tomar:
$$J=\begin{pmatrix}KQ&KQ\\e_1KQ&e_1KQ\end{pmatrix}$$
donde $e_1$ es uno de los vértices. Entonces los elementos de a $KQ$ son combinaciones lineales de caminos en el carcaj (grafo dirigido) $Q$ con coeficientes en $K$, e $e_1KQ$ se compone de los caminos por los que empezar desde el vértice $e_1$. La multiplicación es por la concatenación de los caminos donde sea posible, por lo menos he hecho un tonto error, este es un ideal de a $M_n(KQ)$, pero no de la forma que usted describe para cualquier $Q$, con al menos un camino de no empezar a $e_1$.
