Ayuda en la prueba de $ \binom {n}{0}^2 + \binom {n}{1}^2 + ... + \binom {n}{n}^2 = \binom {2n}{n}$

Question

La prueba debe hacerse a través del teorema del binomio. Expondré la demostración que se me enseñó, y remitiré mis preguntas después de exponerla. Verá signos de interrogación como este (?-n) en puntos que no entiendo bien, donde $n$ es la numeración de la marca. Estas son las dudas que tengo sobre la demostración, que espero que alguien pueda aclarar.

Demuestra que $ \binom {n}{0}^2 + \binom {n}{1}^2 + ... + \binom {n}{n}^2 = \binom {2n}{n}$ .

Usaremos la siguiente igualdad, y la llamaremos $P$ :

$(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}$ (?-1)

El resultado se demostrará encontrando el $x^n$ coeficiente de ambos términos de esta igualdad (?-2) .

Según el teorema del binomio, el lado izquierdo de esta ecuación es el producto de dos factores, ambos iguales a

$ \binom {n}{0}1+ \binom {n}{1}x+...+ \binom {n}{r}x^r+...+ \binom {n}{n}x^n$

Cuando ambos factores se multiplican, un término de $x^n$ se obtiene cuando un término del primer factor tiene algún $x^i$ y el término del segundo factor tiene algo de $x^{n-i}$ . Por lo tanto, los coeficientes de $x^n$ son

$ \binom {n}{0} \binom {n}{n}+ \binom {n}{1} \binom {n}{n-1}+ \binom {n}{2} \binom {n}{n-2}+... \binom {n}{n} \binom {n}{0}$ .

Desde $ \binom {n}{n-r}= \binom {n}{r}$ la suma anterior es igual a $ \binom {n}{0}^2 + \binom {n}{1}^2 + ... + \binom {n}{n}^2$ . Así que el lado izquierdo de la ecuación que se nos pide que probemos es un coeficiente de $x^n$ . Cuando expandimos el lado derecho de la ecuación $P$ encontramos que $ \binom {2n}{n}$ es un coeficiente de $x^n$ . Por lo tanto (?-3) el lado izquierdo de la ecuación que se nos pidió que probáramos es de hecho igual a $ \binom {2n}{n}$ . En conclusión,

$ \binom {n}{0}^2 + \binom {n}{1}^2 + ... + \binom {n}{n}^2 = \binom {2n}{n}$ .

Esta fue toda la demostración. Mi duda una (?-1) va sobre de dónde diablos viene esta ecuación? ¿Cómo sabría yo qué ecuación inventar si se me pide que demuestre una igualdad diferente?

Duda dos (?-2) se pregunta por qué la solución de la primera ecuación tendría algo que ver con la búsqueda de la $x^n$ coeficientes del que acabo de inventar (ver duda uno).

Duda tres (?-3) va sobre el por qué demostrar que $a$ es un coeficiente de $x^n$ en el lado izquierdo de la ecuación que inventé, y que $b$ es un coeficiente de $x^n$ en el lado derecho de esta ecuación también, probaría mi ecuación original, la que se suponía que debía probar en primer lugar?

Sé que hay muchas dudas aquí, espero que ustedes puedan ayudarme. Perdón por el largo correo, es una larga demostración.

Answer 1

Duda 1: no es una ecuación pero un identidad (!!!) : $${{a}^{n}} \cdot {{a}^{n}} \equiv {{ \left ( {{a}^{n}} \right )}^{2}} \equiv {{a}^{2n}},$$ o $${{a}^{n}} \cdot {{a}^{n}} \equiv {{a}^{n+n}} \equiv {{a}^{2n}}.$$ Sí, las matemáticas son indiscutiblemente importantes, y para muchos, también hermosas. Pero mucho más importante que las matemáticas y la humildad y la gratitud.

En la breve indicación que le he dado sobre su duda número 1, está la respuesta a todas sus dudas. Sin embargo, parece que mi corrección le ha molestado.

Su desarrollo algebraico es correcto y lo único que necesita es entender la validez de los argumentos utilizados. Y todo esto se basa en distinguir entre ecuación y identidad y un ecuación es una igualdad que se verifica sólo para ciertos valores de las variables, o para ninguno, mientras que un identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables en su dominio de definición.

Desde la igualdad $(1 + x) ^ n (1 + x) ^n = (1 + x) ^ {2n}$ es un identidad y dos polinomios son idénticos (toman el mismo valor para cualquier valor que se le asigne a su variable) si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado son idénticos el coeficiente de $x ^ n$ es la misma en el desarrollo de $(1 + x) ^ n (1 + x) ^n$ que en el de $(1 + x) ^ {2n}$ .

Este simple razonamiento es la idea que subyace a la validez del argumento utilizado en la demostración, es decir, probar que el coeficiente de $x ^ n$ es la misma en el desarrollo de $(1 + x) ^ n (1 + x) ^n$ que en el de $(1 + x) ^ {2n}$ .

Por lo tanto, la respuesta dada en mi anterior post fue no es trivial Contiene la clave para resolver todas sus dudas sobre la validez de su demostración: la identidad es la igualdad incondicional y en el caso de la identidad de los polinomios, esta incondicionalidad implica la igualdad de sus coeficientes en términos del mismo grado. Hay que tener en cuenta que un polinomio puede definirse omitiendo su variable, simplemente por la sucesión de sus coeficientes, de modo que dos polinomios son idénticos si las secuencias de sus coeficientes son iguales.

Robert Shore ( https://math.stackexchange.com/users/640080/robert-shore ), Ayuda en la prueba de $ \binom {n}{0}^2 + \binom {n}{1}^2 + ... + \binom {n}{n}^2 = \binom {2n}{n}$ URL (versión: 2019-04-17): https://math.stackexchange.com/q/3191796 le da las mismas aclaraciones.

Answer 2

Puedes pensar en las preguntas $1$ y $2$ juntos. Ya sabes que $ \binom {2n}{n}$ es el coeficiente de $x^n$ en $(1+x)^{2n}$ así que con algo de experiencia es obvio adivinar que lo que quieres encontrar es otra expresión útil que te permita calcular ese coeficiente de una manera diferente.

Pregunta $3$ parece ser el resultado de un malentendido por su parte. No estamos hablando de a coeficiente de $x^n$ . El lado izquierdo es un polinomio en $x$ así que tiene un $x^n$ término que tiene un coeficiente. El lado derecho es también un polinomio en $x$ y los dos polinomios son igual así que los coeficientes de todos y cada uno de los poderes de $x$ (incluyendo $x^n$ ) tienen que ser iguales.

Calculando la misma cantidad (en este caso, el coeficiente de $x^n$ ) de dos maneras diferentes ( $(1+x)^n(1+x)^n$ y $(1+x)^{2n}$ ) es una técnica común en las pruebas matemáticas (en particular las pruebas combinatorias) para demostrar que dos expresiones aparentemente diferentes son de hecho iguales.

Answer 3

Para dirigir (?-1) :

Esto está estrechamente relacionado con lo que llamamos función generadora método, donde una secuencia $\{a_n\}$ está relacionado con un polinomio (formal) $$A(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2 \dots. $$ Podemos ver que multiplicando dos de estas funciones se suman como $A(x)+B(x) \sim \{a_n+b_n\}$ y se multiplican como $A(x)B(x) \sim\ { \sum_ {i=0}^n a_ib_{n-i}\}.$ En este caso, después de su transformación $ \binom {k}{n} \mapsto \binom {n-k}{n}$ hay una expresión de la forma $ \sum_ {i=0}^n a_ib_{n-i}$ . Así que intentamos usar la multiplicación de las funciones generadoras.