Calcule el efecto de$∆_∗$ en los grupos de homología.

Question

Deje $∆ : S^n → S^n × S^n$ ser la diagonal mapa de $∆(x)=(x,x)$. Calcular el efecto de la $∆_∗$ de homología de grupos.

Mi intento :

He considerado que la CW complejo de cadena de $S^n$ y vamos, $H_0(S^n)=\Bbb Z\{v\}$ e $H_n(S^n)=\Bbb Z\{e\}$ . A continuación, $S^n × S^n$ tiene es distinto de cero homlogy grupos $H_0(S^n \times S^n)=\Bbb Z\{v \otimes v\},H_n(S^n \times S^n)=\Bbb Z\{v \otimes e,e \otimes v\},$$ H_{2n}(S^n \times S^n)=\Bbb Z\{e \otimes e\}$ .

$H_{2n}(S^n)=0$ .

Mirando a $H_0(S^n)$ , $\Delta_* : H_0(S^n) \to H_0(S^n \times S^n)$ se comporta como, $\Delta_*(v)=(v,v)$ que podemos identificar con $v \otimes v$ ? Si es cierto, entonces la identidad en el 0 homología .

Y luego ,$\Delta_* : H_n(S^n) \to H_n(S^n \times S^n), \Delta_*(e)=(e,e)$ cómo entender la relación con los generadores $v \otimes e,e \otimes v$ ?

Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Ejemplo 3B.3 de Hatcher Topología Algebraica puede iluminar tu problema un poco. Voy a ser el uso de la Künneth fórmula todo el tiempo.

En el primer caso, como hemos mencionado, tiene factorizados $\Delta_*:H_0(S^n)\to H_0(S^n)\times H_0(S^n)\to H_0(S^n)\otimes H_0(S^n)\cong H_0(S^n\times S^n)$. El mapa entre el producto cartesiano y el producto tensor es el canónico, el envío de $(x,y)\mapsto x\otimes y$. En particular, si usted llama a $u$ el generador de la primera $S^n$ del producto, $v$ el generador de la segunda $S^n$ del producto, y $e$ la $S^n$ de la fuente, no está claro por celular homología que $e\mapsto (u,v)\mapsto u\otimes v$. Usted llama a $v$ ambos $u$ e $v$, que no es un problema, pero creo que podría haber llevado a una confusión.

En el segundo caso, tenemos que $H_n(S^n\times S^n)\cong (H_n(S^n)\otimes H_0(S^n))\oplus (H_0(S^n)\otimes H_n(S^n))$. A continuación, puede elegir los generadores $(u\otimes v)$ e $(v\otimes u)$, (ahora estoy en la identificación de los generadores de ambas esferas, se puede evitar si se desea). Entonces, el generador de $a$ de $H_n(S^n)$ es asignado $(u\otimes v)\oplus (v\otimes u)$ (si ha llamado a los generadores por un nombre diferente, sólo tienes que seguir la nomenclatura aquí). Incluso se puede llamar a $a$ a todos los generadores de todos los $H_n(S^n)$, lo que simplifica la notación, que le da ese $a\mapsto (a\otimes v)\oplus (v\otimes a)$, que es probablemente la más clara. Ahora, $(u\otimes v)$ e $(v\otimes u)$ (o $(a\otimes v)$ e $(v\otimes a)$) son los generadores de la suma directa, por lo que todo es conocido.

Lo importante aquí, es que los generadores son producto de las células de la dimensión cuya suma es la dimensión de la homología.

Answer 2

Una forma sencilla de ver esto es que, dado que sólo comparten no trivial de homología en la $nth$ dimensión y ambos son n-conectado, hay un isomorfismo natural entre la enésima homotopy grupo y el enésimo grupo de homología. En la enésima homotopy grupo este es el mapa $1 \rightarrow (1,1)$, así que esto es lo que es en la homología así.

Similares, al menos en espíritu, usted también puede mostrar que $x\mapsto (x,x)$ es homotópica a $x\rightarrow (x,*)+(*,x)$ donde la suma es la misma que en el homotopy grupos. Este mapa es entonces celular (si $*$ es tu punto de base), por lo que induce a los mapas en el celular complejo de cadena que se puede calcular a ser $1 \rightarrow (1,1)$.