Deje $(\pi,V)$ ser finito dimensionales representación compleja de un grupo de $G$. Si $G$ es finito, entonces $\pi$ se determina hasta el isomorfismo por su carácter $\chi_{\pi}$.
Lo que sobre el caso donde $G$ no es necesariamente finito? Me cabe duda de que es cierto que $\pi$ está determinado por su carácter, incluso hasta semisimplification.
Si $\pi_1, \pi_2$ son dos semisimple representaciones de $G$ con el mismo carácter, ¿qué otras propiedades de los $\pi_1$ e $\pi_2$ tiene que compartir a la conclusión de que son isomorfos? Por ejemplo, supongamos $H$ es un subgrupo de índice finito de $G$, y no sólo se $\chi_{\pi_1} = \chi_{\pi_2}$, pero también se $\pi_1|H \cong \pi_2|H$.
La razón por la que estoy pidiendo es que tengo un semisimple representación $\pi$ de un grupo de $G$ que creo que es isomorfo a algunos inducida por la representación de $\operatorname{Ind}_H^G \sigma$ para un semisimple representación $\sigma$ de $H$. Sé cómo directamente la construcción de un isomorfismo entre estos chicos, pero es muy tedioso. Pero es fácil para mí para demostrar que sus personajes son iguales y que sus restricciones a $H$ son isomorfos.
