Forma cerrada de suma aritmética recurrente de series.

Question

Sabiendo que $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ $ ¿cómo puedo obtener la fórmula de formulario cerrado para $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i j$ $ o $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \sum_{k=1}^j k$ $ o cualquier x veces la suma neasted como arriba?

Answer 1

Podemos escribir la última suma múltiple como : \begin{align*} \color{blue}{\sum_{i_1=1}^n\sum_{i_2=1}^{i_1}\sum_{i_3=1}^{i_2}i_3} &=\sum_{i_1=1}^n\sum_{i_2=1}^{i_1}\sum_{i_3=1}^{i_2}\sum_{i_4=1}^{i_3} 1\\ &=\sum_{1\leq i_4\leq i_3\leq i_2\leq i_1\leq n}1\tag{1}\\ &\,\,\color{blue}{=\binom{n+3}{4}}\tag{2} \end{align *} En (1) observamos que el rango del índice es el número de $4$ ordenadas con repetición de un conjunto con $n$ elementos dando como resultado (2).

Answer 2

Deje $f_k(n)$ ser la forma cerrada de la suma anidada $k$ veces. Sabemos que $$f_1(n)=\frac12n(n+1)=\binom{n+1}{2}$$ $$f_k(n)=\sum_{j=1}^n f_{k-1}(j)$$ Así que para la próxima función de $f_2(n)$ hemos $$f_2(n)=\sum_{j=1}^n\binom{j+1}{2}=\sum_{j=2}^{n+1}\binom{j}{2}=\binom{n+2}{3}$$ Mediante el Hockey stick de identidad (créditos a Jean-Claude Arbaut). De igual manera para la siguiente función de $f_3(n)$ hemos $$f_3(n)=\sum_{j=1}^n\binom{j+2}{3}=\sum_{j=3}^{n+2}\binom{j}{3}=\binom{n+3}{4}$$ Por lo que uno podría conjeturar que $$f_k(n)=\binom{n+k}{k+1}$$ que puede ser fácilmente demostrado por inducción de la siguiente manera $$f_k(n)=\sum_{j=1}^n\binom{j+k-1}{k}=\sum_{j=k}^{n+k-1}\binom{j}{k}=\binom{n+k}{k+1}$$ Por lo tanto, tenemos que $$\boxed{f_k(n)=\binom{n+k}{k+1}=\frac1{(k+1)!}n(n+1)(n+2)\dots(n+k-1)(n+k)}$$

Answer 3

Aquí está una combinatoria forma de pensar acerca de ello: en primer lugar, tenga en cuenta que podemos ir un nivel más profundo y representan el interior de la pieza ($j$o $k$, etc.) en sus fórmulas como $\sum_{h=1}^j1$; esto significa que la fórmula comenzar a parecerse a $\displaystyle\sum_{m=1}^n1 =n$, $\displaystyle\sum_{m=1}^n\sum_{l=1}^m1=n(n+1)/2={n+1\choose 2}$, $\displaystyle\sum_{m=1}^n\sum_{l=1}^m\sum_{k=1}^l1={n+2\choose 3}$, etc. Ahora, echemos un vistazo a lo que el lado izquierdo está contando. En el primer caso, estamos a sólo contar el número de maneras de elegir un $m$ entre $1$ e $n$ (inclusive); esto es, evidentemente, sólo $n$. En el segundo, estamos eligiendo un número $m$ entre $1$ e $n$ inclusive, de nuevo, pero entonces la elección de un $l$ entre $1$ e $m$; esto es exactamente el número de maneras de elegir dos números entre el $1$ e $n$, donde no nos importa el orden, es decir, la elección de $2$ e $5$ es exactamente la misma que la elección de $5$ e $2$. Del mismo modo, $\displaystyle\sum_{m=1}^n\sum_{l=1}^m\sum_{k=1}^l1$ cuenta el número de maneras de elegir tres números entre el $1$ e $n$, sin tener en cuenta el orden; esto es debido a que podemos ordenar los números que hemos elegido (ya que no nos importa el orden) y, a continuación, tenga en cuenta que el mayor puede estar en cualquier lugar entre el $1$ e $n$, pero, a continuación, el siguiente más grande sólo puede ser entre $1$ y el más grande, etc.

Ahora bien, la diferencia entre este y regular combinaciones es que en una combinación cada número elegido debe ser distinto; pero si tenemos una lista ordenada $\langle k, l, m\rangle$ el (no necesariamente distintos) los números que hemos elegido de entre $1$ e $n$ entonces podemos convertir esto en una lista ordenada de no necesariamente distintos números de entre $1$ e $n+2$: vamos a $k'=k$, $l'=l+1$, $m'=m+2$. Usted debe ser capaz de convencerse de que este es un uno-a-uno la correspondencia entre la no-necesariamente-opciones distintas en $\{1\ldots n\}$ y opciones distintas en $\{1\ldots n+2\}$, y el mismo principio se extiende a cualquier número de opciones. (Este enlace de wikipedia tiene más detalles).

Answer 4

$$S_{n_2}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij=\sum_{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}=\frac12\sum_{i=1}^ni^2+i=\frac12\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ $ y ahora: $$S_{n_3}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^jk=\frac16\sum_{i=1}^ni(i+1)(i+2)=\frac16\sum_{i=1}^ni^3+3i^2+2i=\frac16\left[\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+n(n+1)\right]=\frac{n(n+1)}{6}\left[\frac{n(n+1)}{4}+\frac{(2n+1)}{2}+1\right]=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$ $ y podemos ver un patrón aquí. Para una serie $S_{n_a}$ con $a$ sumas anidadas, se cumple lo siguiente: $$S_{n_a}=\frac{1}{(a+1)!}\prod_{b=0}^a(n+b)=\frac{(n+a)!}{(n-1)!(a+1)!}$ $