En tu pregunta original no tenía la asunción de nilpotence. Quiero responder a la pregunta con y sin esta suposición, porque es más fácil sin la nilpotency suposición de un dos pruebas de utilizar la misma idea. La respuesta es "no" en ambos casos.
Un grupo de $G$ es residual finito si para cada a$g\in G$ existe un homomorphism $\phi_g: G\rightarrow F_g$ donde $F_g$ es un grupo finito y donde $\phi_g(g)\neq1$. Equivalentemente, (mirando a los núcleos de los mapas de $\phi_g$), la intersección de todos finito índice de subgrupos es trivial. Una rápida en google debe convencer de que:
- libre de grupos residual finito, y
- hay finitely generado, no residual grupos finitos.
Así que vamos a $Q$ ser finitely generado y no residual finito. Entonces allí existe un grupo libre $\mathcal{F}$ con normal subgrupo $K$ tal que $\mathcal{F}/K\cong Q$. Como $\mathcal{F}$ es residual finito podemos tomar la trivialmente-intersección de los subgrupos $H_n$ a todos los subgrupos de índice finito. Tenga en cuenta que cada finito-índice subgrupo de $\mathcal{F}/K$ es la imagen de una $H_n$, y por lo tanto tiene la forma $H_nK$. Como $\mathcal{F}/K$ es no residual finitos, existe un no-trivial elemento $gK\in \mathcal{F}/K$ tal que $gK\in\cap H_nK$. Por lo tanto, $\cap H_nK\neq K$ como se requiere.
Se puede definir a sí mismo para salir de este problema: un grupo de $G$ es llamado (a nivel local) extendido residual finito (LERF/ERF) si por cualquier (finitely generado) subgrupo $K<G$ y no trivial elemento $g \in G\setminus K$ hay un homomorphism $\phi_g: G\rightarrow F_g$ donde $F_g$ es un grupo finito y donde $\phi_g(g)\not\in \phi_g(K)$. Lo que el de arriba está diciendo es que la libertad de los grupos no son FER. Por otro lado, libre de grupos LERF (y LERF tiende a ser estudiado más).
Así, nilpotent grupos. Finitely generado nilpotent grupos residual finito, y como cocientes de nilpotent grupos son también nilpotent no podemos usar el mismo argumento como el anterior. Sin embargo, puede restringir a un grupo más pequeño de los subgrupos $H_n$:
Revisión de un primer $p$ y deje $\mathcal{P}$ denotar la clase de finito $p$-grupos. Supongamos que $G$ es un no-cíclico, libre nilpotent grupo. A continuación, $G$ es residual $\mathcal{P}$ (esto es debido a Gruenberg, K. W. (1957), Residual Propiedades de Infinito Soluble en Grupos. Proc. Lond. De matemáticas. Soc. doi*). Por lo tanto, los subgrupos de $G$ de índice de algún poder de $p$ se cruzan trivialmente: $$\bigcap_{[G:H_n]=p^j,\; j\in\mathbb{N}}H_n=1.$$
Como $G$ es gratis nilpotent contiene un subgrupo $K$ tal que $G/K$ contiene un no-trivial elemento $gK$ orden $q$ donde $q$ es coprime a $p$. Por lo tanto, $$\begin{align*}gK\in&\bigcap_{[G:H_n]=p^j}H_nK\\\Longrightarrow K\neq&\bigcap_{[G:H_n]=p^j}H_nK.\end{align*}$$
Por lo tanto, la respuesta sigue siendo "no" si asumimos finitely generado nilpotent.
*Puedo pasar una buena hora tratando de encontrar primero y, a continuación, acceder a esta referencia. A pesar de que el papel de ser >60 años de edad, y a pesar de yo estar en mi equipo de trabajo, está detrás de un paywall no puedo omitir, tuve que usar MathSciNet a la labor de los resultados. Tanto mi empleador actual y mi empleador anterior fueron respetables universidades del reino unido. Ambos tienen las personas en el LMS consejo. Ni la universidad se suscribe a cualquiera de los LMS revistas.
