Stiefel-Whitney es un número de variedades que son límites de variedades no lisas

Question

Puede un suave compacto colector de ser el límite de un no-smoothable colector? Si es así puede cualquiera de sus Stiefel-Whitney números de ser distinto de cero?

Thom del teorema dice que un compacto liso colector tiene cero Stiefel-Whitney números si y sólo si es el límite de un buen colector. Por supuesto, se pregunta si hay casos en los que un compacto liso colector es un límite de un colector que no tiene diferencial de la estructura y si, en tal caso es posible que el colector de tener un valor distinto de cero Stiefel-Whitney número.

Answer 1

Deje $M$ ser $E_8$ colector abierto en el disco quitado; tenga en cuenta que $\partial M = S^3$ es un buen colector. Si $M$ fueron smoothable, entonces su doble sería así, pero el doble de $M$ es sólo el conectado suma de dos copias de la $E_8$ colector de que no es smoothable por Donaldson del Teorema.

Como Oscar Randall-Williams señala aquí, si dos liso colectores son topológicamente cobordant, entonces ellos están suavemente cobordant. En particular, si una suave colector de límites no smoothable colector, también de los límites de un suave colector, y por lo tanto, todos sus Stiefel-Whitney números de desaparecer por Thom del teorema.