Me encontré con el siguiente problema.
$\{x_t\}$: Cadena de Markov en tiempo discreto;
$\Omega$: un estado finito espacio s.t. $|\Omega|=n<\infty$;
$\tau_w\equiv\min\{t\ge 0\,|\,x_t=w\}$, $w\in\Omega$ (antes de pegarle el tiempo).
Probar: Para cada una de las $T\ge 1$ y cada una de las $x,y\in \Omega$ $$\Pr(\tau_y=T|x_0=x)\le\frac nT.$$
Esfuerzo: Este es un resultado sorprendente como el de instalación es muy general. Procedí a través de la inducción. El uso recursivo de caracterización, tenemos $$\Pr(\tau_y=T+1|x_0=x)=\sum_{z\ne y}\Pr(\tau_y=T|x_0=z)p(x,z),$$ donde $p(x,z)=\Pr(x_{t+1}=x|x_t=z)$ es la probabilidad de la transición. Para cada cadena de Markov, utilizando la hipótesis inductiva, fácilmente podemos confirmar que esto tiene para $T$ lo suficientemente grande. Hasta ahora no puedo ver cómo mostrar esto por un general $T\ge n+1$.
Cualquier sugerencias o comentarios serán muy apreciados!
