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Question

$$\lim_{t\to 1^{-}}(1-t)\sum_{r = 1}^\infty \frac{t^r}{t^r+1}$$

Nota: soy un estudiante de la escuela secundaria y este problema apareció en mi prueba. Así que, por favor, trate de usar métodos para resolver este problema en un de alto nivel de la escuela :)

Mi Intento:

He honestamente ni idea de cómo abordar este problema.

Primero trató de simplificar la suma, pero no encontró ningún patrón. Mirando las opciones que me ha dado ( que eran todos en ln y e )me hacen sentir que podemos integrar en algún momento. Aunque no estoy seguro.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Sugerencia: escriba $\frac{1}{1+t^r}$ usando la fórmula para la suma de una serie geométrica y cambie el orden de la suma.

Solución completa: \begin{align} \lim_{t\rightarrow 1^-} (1-t) \sum_{r=1}^\infty \frac{t^r}{1+t^r} &= \lim_{t\rightarrow 1^-} (1-t) \sum_{r=1}^\infty t^r \sum_{n=0}^\infty (-t^r)^n = \\ &= \lim_{t\rightarrow 1^-} (1-t) \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=1}^\infty (-1)^n t^{(n+1)r} = \\ &= \lim_{t\rightarrow 1^-} (1-t) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{n+1}}{1-t^{n+1}} = \\ &= \lim_{t\rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1 -t}{1-t^{n+1}} t^{n+1} = \\ &= \lim_{t\rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{1+t+t^2+\dots+t^n} t^{n+1} = \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{n+1} = \\ &= \ln 2\end {align}