Supongamos que $f:U \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es continuo y $$(x^2+y^4)f(x,y)+(f(x,y))^3=1 \: \text{for all} \: (x,y) \in U. $$ Prove $ f$ is $ C ^ \ infty $ .
Este tipo de ejercicio es nuevo para mí y realmente no tengo idea de cómo derivar que el derivado existe infinitamente y es continuo.
Las respuestas son realmente en los comentarios a la pregunta principal, y debido a Martin Blas Pérez y Michael Hoppe. Por lo tanto, este post es la CW.
La función de $z=f(x, y)$ satisface la ecuación $$ (x^2+y^4)z+z^3=1, $$ de modo que nunca puede desaparecer. En particular, por el teorema de la función implícita, $f$ debe $C^1$ y $$ \begin{array}{cc} \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2xz}{x^2+y^4+3z^2}, & \frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{4y^3z}{x^2+y^4+3z^2}, \end{array} $$ y hacemos la observación de que el denominador nunca puede desaparecer. Por la iteración de este proceso podemos ver que $f$ es infinitamente diferenciable.
En realidad, Micheal incluso calcula una expresión explícita para $z$. Ver su comentario a la pregunta principal, que espero que se convierte en una respuesta. A partir de esa expresión es manifiesto que $z$ es suave.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
