¿Es el diferencial en un punto regular, un isomorfismo de espacio vectorial de espacios tangentes, y también un difeomorfismo de espacios tangentes como múltiples?

Question

Nota: Mi pregunta no es "Si $f$ es un diffeomorphism, entonces es el diferencial de $D_qf$ un isomorfismo?"

Mi libro es De un Cálculo de Cohomology por Ib Madsen y Jørgen Tornehave. Yo no estudio mucho de las definiciones o teoremas en el libro, si ya se habían encontrado en Una Introducción a los Colectores por Loring W. Tu. Por lo general se supone que son la misma hasta que haya evidencia de lo contrario.

En el Capítulo 11, Madsen y Tornehave definir "índice local", que a mí me parece simplemente una forma diferente de decir signo del determinante de la matriz Jacobiana que representa el diferencial (Ver Tu Propuesta 8.11; Tu Sección 23.3; Madsen y Tornehave Lema 10.1; Madsen y Tornehave Lema 10.3; Wikipedia Grado de una asignación continua, específicamente este).

Ahora, para un punto de $q \in f^{-1}(p)$ para un valor de $p$ que está en la imagen de $f$ (Para un valor de $p$ que no está en la imagen de $f$, estoy seguro de que hay cuidada banales argumentos que voy a omitir), se dice que el índice local se define como $1$ si $D_qf$ preserva orientación y $-1$ lo contrario.

Me sorprendió ver la orientación de la preservación como un adjetivo para un isomorfismo de espacios vectoriales porque yo estoy acostumbrado a ver la orientación de la preservación como un adjetivo para diffeomorphisms de los colectores. Sin embargo, $T_pN^n \cong \mathbb R^n$, por lo que supongo que la tangente espacios de colectores son colectores, así, suponiendo que la imagen de una orientada al colector en virtud de un espacio vectorial isomorfismo es también una orientada al colector o algo.

• (Esta pregunta parece confirmar que la tangente espacios de colectores son los colectores, aunque creo que la definición de la pregunta es la misma que la de Madsen y Tornehave pero diferente de la de Tu). En realidad, en una segunda lectura de la respuesta de Alex Mathers a esa pregunta, creo que tengo una respuesta a mi pregunta: Cualquier vector del espacio de isomorfismo, de tangente espacios de colectores o cualquier otra espacios vectoriales, resulta ser un homeomorphism. Mientras mi pregunta es diffeomorphism, resulta que John M. Lee el Ejemplo 1.24, que fue señalado por Alex Mathers, muestra que un isomorfismo de finito real de espacios vectoriales es un diffeomorphism así. En lugar de analizar el ejemplo, voy a tratar de una manera diferente a prueba.)

Creo que $D_qf$o $f_{*, q}$ en Tu la notación, es un diffeomorphism de la tangente espacios como colectores debido a que:

1. $D_qf$ es surjective ya sea por la definición de $q$ ser un punto habitual (Tu Definición 8.22) o $q \in f^{-1}(p)$ y la definición de las $p$ siendo regular el valor de $f$ que está en la imagen de $f$ (Madsen y Tornehave Capítulo 11).

2. $D_qf$ es un homomorphism de la tangente espacios (casi inmediatamente de la definición, pero de todos modos, esto se desprende de Tu Ejercicio 8.3).

3. $D_qf$ es inyectiva, por esto, debido a (1), (2) y que las dimensiones de $T_qN$ e $TpM$ son finitos y la igualdad.

4. $D_qf$ es un local diffeomorphism de colectores si y sólo si para cada una de las $X_q \in T_qN$, la (doble) diferencial de $D_{X_q}(D_qf): T_{X_q}(T_qN) \to T_{D_qf(X_q)}(T_pM)$ es un isomorfismo de la (doble) de la tangente espacios, por el Teorema de la Función Inversa para los colectores (específicamente por Tu Comentario 8.12, que da un "coordenadas-descripción gratis" para Tu Teorema de la Función Inversa para los colectores (Tu Teorema de 6.26))

5. $D_qf$ es un diffeomorphism de colectores si y sólo si $D_qf$ es un bijective local diffeomorphism de colectores (en cada una de las $X_q \in T_qN$) por este.

6. $D_qf$ es un isomorfismo de la tangente espacios por (1), (2) y (3).

7. Cada $D_{X_q}(D_qf)$ es idéntica a $D_qf$ sí, por Tu Problema 8.2 (que también se encuentra en esta pregunta y esta pregunta), debido a (2).

8. Cada $D_{X_q}(D_qf)$ es un isomorfismo de la tangente espacios, porque de (6) y (7).

9. $D_qf$ es un local diffeomorphism de colectores (en cada una de las $X_q \in T_qN$) por (4) y (8).

10. $D_qf$ es un diffeomorphism de colectores por (1), (3), (5), y (9).

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es sí, pero, al menos de acuerdo a la mayoría de los tratamientos sé, usted realmente no necesita saber la respuesta al sentido de la definición del índice local. Esto es debido a que los autores probablemente se refieren al concepto de "orientación" preservan isomorphisms de orientado a espacios vectoriales de álgebra en lugar de la "orientación" preservan para diffeomorphisms de colectores de la geometría, específicamente en su libro o en Tu libro. La última definición implica suavidad, mientras que la definición anterior no. Como resulta $D_qf$ es de la orientación de la preservación como espacio vectorial isomorfismo si y sólo si $D_qf$ es de la orientación de la preservación como un diffeomorphism de colectores, pero necesita una interpretación de cómo un espacio vectorial se convierte en un colector.

Si entiendo correctamente, usted está tratando de interpretar la definición por el pensamiento de $T_qN$ e $T_pM$ como orientada colectores e $D_qf$ como diffeomorphism. Para hacer su argumento preciso, la primera pregunta que usted se debe preguntar es ¿cómo quiere pensar de $T_qN$ (e $T_pM$) como un colector? Es decir, ¿cuál es la topología y la suave estructura en $T_qN$? Sin responder a esta pregunta, realmente no se puede argumentar que $D_qf$ es un homeomorphism/diffeomorphism. Hay al menos dos opciones que tienen sentido:

1. Creo que de $T_qN$ como un espacio vectorial. Cualquier espacio vectorial $V$ tiene un único suave de la estructura que se obtiene por declarar algunas isomorfismo $\psi \colon \mathbb{R}^n \rightarrow V$ mundial gráfico de $V$. Se puede comprobar que la suave estructura no depende de la elección del isomorfismo y, una vez que se utiliza un isomorfismo, cualquier otro isomorfismo también será un mundial gráfico. Si usted dotar a dos espacios vectoriales $V,W$ natural con la suave estructuras descritas anteriormente, se puede comprobar que cualquier lineal mapa de $S \colon V \rightarrow W$ será automáticamente suave (en particular, continuo). Por lo tanto, si $S$ es bijective, va a ser un diffeomorphism (como $S^{-1}$ también es lineal, por lo tanto lisas). También puede utilizar el hecho de que el diferencial de $S$ puede ser identificado con $S$ sí, pero sólo complica el argumento. En particular, si se aplica este argumento a $V = T_qN, W = T_pM$ e $S = D_qf$, tendrás que $D_qf$ es un diffeomorphism.
2. Creo que de $T_qN$ como submanifold de la tangente bundle $TN$. Uno puede comprobar que $T_qN$ es de hecho una incrustado submanifold de $TM$ así que es natural único suave estructura compatible con la topología de subespacio, que, como sucede, resulta ser la misma estructura de la que se obtendría si se utiliza la estructura de espacio vectorial. Con esta interpretación, se puede comprobar que $D_qf$ es un diffeomorphism utilizando rebanada de gráficos en torno a $T_qN$ e $T_pM$ (que provienen de la construcción de gráficos en $TN,TM$) y la verificación de que, en coordenadas locales, $D_qf$ es lineal bijective mapa, por lo tanto un diffeomorphism. También se puede argumentar en diversas formas.

A continuación, en orden a hacer sentido de su interpretación, se nota que no es suficiente para dar a $T_qN$ la estructura de un colector. Usted necesidad de orientar. Cómo va a hacer eso depende de tu definición de la orientación (como hay muchas definiciones equivalentes). Si una orientación está definida por dar una orientada al atlas, la cosa más fácil de hacer es trabajar con la primera interpretación anterior. Si $X \colon U \rightarrow N$ es una orientada al gráfico de alrededor de $q$ con $X(a) = q$, definir una orientada lisa estructura en $T_qN$ al declarar que el diferencial de $DX|_a \colon T_a(\mathbb{R}^n) \rightarrow T_qN$ a ser una orientada gráfico (donde se identifica a$T_a(\mathbb{R}^n)$ con $\mathbb{R}^n$ en la forma habitual). Si su definición de la orientación es diferente, usted puede ser que necesite para hacer algo diferente.

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Como usted puede ver, hay muchos detalles que se llene con el fin de trabajar con su interpretación. Sin embargo, la mayoría de los libros que conozco (no he revisado Tu ni Marsden) también discutir la noción de la orientación de un espacio vectorial, que es una pura álgebra lineal noción ajena a cualquier problema de suavidad. Entonces uno se define cuando un mapa entre orientada a espacios vectoriales es la orientación de la preservación y, finalmente, una muestra de que la definición de la orientación en un colector $N$ induce una orientación para cada espacio de la tangente $T_qN$ (que varía suavemente" con respecto a $q$). Entonces, la definición de índice con respecto a la noción de orientación preservar/retroceso lineal mapas entre orientado vectores espacios y no diffeomorphisms entre orientada a los colectores. Esto le da un conceptualmente limpiador de tratamiento, ya que separa el tema de la suavidad de la cuestión de la preservación de orientación/retroceso.