Deja $$\begin{align}
S_1&=1-\frac15+\frac19-{1\over13}+\dots\\
S_2&=\frac13-\frac17+{1\over11}-{1\over15}+\dots
\end{align}$$ so that the sum we seek is $S_1+S_2.$
T0 calcular $S_1,$ consideran $$f(x) = 1-{x^5\over5}+{x^9\over9}-{x^{13}\over13}+\dots$$ so that $$f'(x)=-x^4+x^8-x^{12}+\dots={-x^4\over1+x^4},\ |x|<1$$
y $$f(x)=\int_0^x{-t^4\over1+t^4}\mathrm{dt}+f(0),\ |x|<1$$
Por Abel el teorema del límite, $$S_1=\lim_{x\to1-}\int_0^x{-t^4\over1+t^4}\mathrm{dt}+f(0)=1-\int_0^1{t^4\over1+t^4}\mathrm{dt}$$ and we can do a similar calculation for $S_2$ to get $$S_2=\int_0^1{t^2\over1+t^4}\mathrm{dt}$$
Las integrales son primarias, pero tedioso, y le dejo a usted. (Francamente, me gustaría hacerlo escribiendo en la WolframAlpha. Usted puede conseguir el indefinido integrales, y se les echa por la diferenciación, si lo desea.) Si usted realmente quiere hacer a mano, creo que es más fácil considerar sólo las integrales definidas, y dividir el denominador en factores lineales utilizando números complejos, pero no sé si usted ha aprendido acerca de los complejos integrales todavía.
