Teorema del resto para polinomios (JUEE 1990)

Question

Supongamos que el polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros que cumpla las siguientes condiciones:
(A) Si $P(x)$ se divide por $x^2 − 4x + 3$, el resto es $65x − 68$.
(B) Si $P(x)$ se divide por $x^2 + 6x − 7$, el resto es $−5x + a$.
Entonces sabemos que $a =$?

Estoy luchando con esta primera pregunta de la de 1990 Japonés de la Universidad Examen de Ingreso. Comentarios de los vinculados papel mencionar que este es un básico de la aplicación de la "teorema del resto". Sólo estoy familiarizado con el polinomio teorema del resto , pero no creo que se aplica aquí, ya que el resto son polinomios. Qué significan el teorema del resto Chino, aplicado a polinomios?

Así que para algunos $g(x)$ e $h(x)$ tenemos: $$P(x) = g(x)(x^2-4x+3) + (65x-68),\\ P(x) = h(x)(x^2+6x-7) + (-5x+a)$$ el que parece tener más incógnitas que ecuaciones. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Solo necesitas $P(1)$ , ya que

• $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$ y
• $x^2+6x-7 = (x-1)(x+7)$

Por lo tanto,

• $P(1) = 65-68 = -3$
• $P(1) = -5+a \Rightarrow a=2$

Answer 2

Sugerencia:

Si usted sabe que el resto de la división de algunos polinomio $Q$ , digamos, $x^2-5x+4$ es $7x-8$ usted puede encontrar algunos de los valores de $Q$ sustituyendo $x$ por los ceros del divisor.

De hecho, los ceros de $x^2-5x+4$ se $x=1$ e $x=4$. Así que usted puede encontrar lo que es $Q(4)$.

$$Q(x)=h(x)(x^2-5x+4)+7x-8$$ $$Q(4)=h(4)(4^2-5\cdot 4+4)+7\cdot 4-8=h(4)\cdot 0+28-8=20$$

Answer 3

Notamos que: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ y $x^2+6x-7=(x-1)(x+7)$ .

Entonces, tenemos: $P(1)=65*1-68=-5*(1)+a$ . $\implies -3=-5+a\iff a=2$ .

Answer 4

Desde $P(x)=g(x)(x^2-4x+3)+(65x-68)$ , para $x=1$ obtienes $P(1)=-3$ . Esto implica que $P(1)=h(1)\cdot 0+(-5+a)$ , es decir, $a=2$ .

Answer 5

Puedes usar el teorema del resto polinomial aquí, es simplemente poco práctico. Indica que P (x) mod (xb) es congruente con P (b). Nunca dice: sea b, se un número. $x^2-4x+3=x-(-x^2+5x-3)$ .

Es más fácil notar que el segundo divisor es $10x-10$ más que el primero, así que $(10x-10)y-5x+a= 65x-68$ así que y = 7 produce $70x-70-5x+a=65x-(70-a)$ así que $a=2$ funciona.