¡Estás de suerte! Un nuevo Manual de teoría de la homotopía está siendo editado por Haynes Miller. No creo que haya una lista definitiva de trabajos que se incluirán en la versión final, pero he visto que muchos de ellos aparecen en arXiv. Además, el nLab ha recopilado una lista (No sé qué tan completo es). Por orden alfabético:
- Gregory Arone, Michael Ching, "Cálculo de Goodwillie", ( arXiv:1902.00803 )
- David Ayala, John Francis, "A factorization homology primer", ( arXiv: 1903.10961 )
- Paul Balmer, "A guide to tensor-triangulated classification" ( pdf )
- Tobias Barthel, Agnès Beaudry, "Chromatic structures in stable homotopy theory" ( arXiv:1901.09004 )
- Mark Behrens, "Formas modulares y automórficas topológicas" ( arXiv:1901.07990 )
- Julia Bergner, "Un estudio de los modelos de $(\infty,n)$ -categorías" ( arXiv:1810.10052 )
- Benoit Fresse, "Operadas de pequeños discos, complejos de grafos y grupos de Grothendieck-Teichmüller" ( arXiv:1811.12536 )
- Daniel Isaksen, Paul Arne Østvær, "Motivic stable homotopy groups" ( arXiv:1811.05729 )
- Wolfgang Lueck, "Mapas de montaje" ( arXiv:1805.00226 )
- Nathaniel Stapleton, "Teoría de Lubin-Tate, teoría del carácter y operaciones de poder" ( arXiv:1810.12339 )
- Kirsten Wickelgren, Ben Williams, "Unstable Motivic Homotopy Theory", ( arXiv: 1902.08857 )
A juzgar por tus intereses (operadas y categorías superiores), te recomendaría los trabajos de Fresse, Bergner y Ayala-Francis entre ellos. No he leído todos los trabajos, pero los que he leído son todos muy interesantes y están definitivamente a la vanguardia de la topología algebraica moderna.
Si realmente te interesan las operadas, el libro de Loday-Vallette que mencionas es un muy buen punto de partida, aunque estoy de acuerdo en que se centra principalmente en la parte algebraica (esto no es ninguna sorpresa dado el título). Si quieres saber más sobre las aplicaciones topológicas, te recomiendo el reciente libro de Fresse Homotopía de Operadas y Grupos de Grothendieck-Teichmüller . Esto se centra principalmente en los pequeños $2$ -y sus automorfismos de homotopía, pero hay una buena cantidad de antecedentes, especialmente en los primeros capítulos. Si prefiere escuchar, también hay Ponencia de Willwacher en el Congreso Internacional de Matemáticos 2018 .
En cuanto a las categorías superiores, los libros de Lurie ( Teoría del Topo Superior y Álgebra superior ) son prácticamente referencias estándar ahora, si quieres cuasi-categorías. Prepárese para un largo viaje. También existen otras referencias más introductorias. Tenga en cuenta también que hay otros modelos para las categorías superiores, y el documento de Bergner (véase más arriba) es una visión general de los diferentes modelos y sus relaciones. También ha escrito un libro muy bonito ( La teoría de la homotopía de $(\infty,1)$ -categorías ) sobre el tema.
Me he dado cuenta de que también te interesa la geometría algebraica. Esto está un poco más lejos de mi área de experiencia, pero hay algunas conexiones muy interesantes entre la geometría algebraica y la teoría de la homotopía, en forma de "geometría algebraica derivada". Entre las referencias fundacionales, tienes los dos trabajos de Toën-Vezzosi, Geometría algebraica homotópica I y II; y la serie de documentos DAG (Geometría Algebraica Derivada) de Lurie. Lurie ha escrito unas palabras sobre los requisitos previos para esta última. Hay un Pregunta MO "Geometría algebraica derivada: ¿cómo llegar a la matemática de nivel de investigación?" si quieres más información.
Sin embargo, es necesario hacer una advertencia. Los documentos/libros anteriores no son cursos como el libro de Hatcher, por ejemplo. Están a la vanguardia de la investigación, y el nivel de dificultad es proporcional.
No he cubierto todo, obviamente. Pero los documentos/libros citarán referencias que pueden servir de punto de partida para profundizar.
