¿Se cierra un conjunto si no tiene puntos de acumulación?

Question

me preguntaba

si un conjunto$A$ no tiene un punto de acumulación, ¿está este conjunto$A$ cerrado?

Creo que esto es cierto, pero no estoy muy seguro.

Aquí está mi pensamiento:

Por definición de conjunto cerrado: un conjunto$A$ se cierra si cada punto de acumulación de$A$ es un punto de$A$.

Como$A$ no tiene puntos de acumulación, está cerrado. ¿Estoy diciendo esto verdad?

Answer 1

Bien, tenemos que ser un poco cuidadosos con nuestras palabras.

Consideremos el conjunto a $S = \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \}$. Ciertamente, $0$ es un punto de acumulación, sino $0 \not\in S$. Por lo tanto, $S$ no tiene ningún punto de acumulación dentro de $S$, pero $S$ es, sin duda, no se cierra en relación a la mayor espacio métrico $\mathbb{R}$. Sin embargo, como cesfat estaba diciendo a continuación, si nos fijamos en $S$ en su propio derecho, con el subespacio de la topología inducida por la de$\mathbb{R}$, $S$ es cerrado en relación a sí mismo (ya que no contiene la acumulación de puntos dentro de sí mismo).

Línea de base: cuando hablamos de cierre, lo hacemos relativa a un determinado espacio métrico.

Así que para responder a tu pregunta, si un conjunto $A$ está incrustado en un mayor espacio métrico $X$ $A$ no tiene ningún punto de acumulación en cualquier lugar en $X$, entonces es vacuously cierto que $A$ es cerrado en $X$.

Answer 2

El conjunto de todos los puntos de acumulación de S es el conjunto vacío y cada conjunto tiene el conjunto vacío como un subconjunto. Por lo tanto, S contiene todos sus puntos de acumulación y, por lo tanto, S está cerrado. Muy simple.

Answer 3

Sí, es solo una consecuencia de la lógica y no tiene nada que ver con las propiedades de los conjuntos cerrados, por lo que puede resultar extraño. De todos modos, por ejemplo, un conjunto vacío está cerrado.