La desmitificación de las formas modulares

Question

Realmente estoy tratando de entender lo que las formas modulares son y cómo debo pensar en ellos. Por desgracia, a menudo ver a los demás está en mi misma situación cuando se trata de las formas modulares, me imagino que debido a la cantidad de conocimientos necesarios para apreciar y comprender las construcciones y de los métodos es bastante grande, así que espero que con este post algunos claridad puede ser ofrecido, también para los lectores futuros.. Las definiciones usuales uno se encuentra a menudo son de la forma: (aquí tomado de wikipedia)

Una forma modular es un (complejo) de la analítica de la función en la parte superior la mitad de plano la satisfacción de un cierto tipo de ecuación funcional con respecto al grupo de acción de la modulares grupo, y también de satisfacciones una condición de crecimiento.

Una forma modular de peso $k$ para el sistema modular de grupo $$ \text{SL}(2,\mathbb{Z})=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}| a,b,c,d \in \mathbb{Z} , ad-bc = 1 \right\} $$ es un de valores complejos de la función $f$ en la mitad superior del plano-$\mathbf{H}=\{z \in \mathbb{C}\text{Im}(z)>0 \}$, la satisfacción de las siguientes tres condiciones:

1. $f$ es un holomorphic de la función en $\mathbf{H}.$
2. Para cualquier $z \in \mathbf{H}$ y cualquier matriz en $\text{SL}(2,\mathbb{Z})$ como en el anterior, tenemos: $$ f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^k f(z) $$
3. $f$ que se requiere para ser holomorphic como $z\to i\infty.$

Preguntas:

• (a): supongo que lo que estoy teniendo menos familiaridad con el modular grupo parte. Mi interpretación de $\text{SL}(2,\mathbb{Z}):$ El conjunto de todos los $2$ $2$ matrices, con el entero de los componentes, teniendo su determinante igual a $1.$ Pero ¿de dónde viene el nombre viene de que, como en ¿por qué llamamos a este conjunto de un grupo y de lo modular implica?
• (b): Si he entendido bien, el grupo de operación aquí es función de la composición, del tipo de: $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}z = \frac{az+b}{cz+d}$, lo que también se denomina lineal fraccional de transformación. ¿Cómo se debe interpretar la condición de $2.$ que $f$ tiene que satisfacer? Mi observación es que, como resultado de que el grupo de operación de $\text{SL}$ en un entero dado $z,$ la imagen correspondiente se multiplica por un polinomio de orden $k$ (que es el peso de la forma modular).
• (c) La condición de $3.$ I interpretar como: $f$ no debe exhibir cualquiera de los polos en la mitad superior del plano, ni siquiera en el infinito. Sobre la derecha?
• (d) Una pregunta más general: Dada la definición anterior, es tentador ver las formas modulares como clases particulares de funciones, como la de Schwartz clase de funciones, o $L^p$ funciones y así sucesivamente. Es este un aceptable evaluación de las formas modulares?
• (e) la Última pregunta: se dice a menudo que las formas modulares tienen muy interesante, transformadas de Fourier, como en sus coeficientes de Fourier son a menudo muy interesante (o conocido) secuencias. Es allí una manera intuitiva de ver, a partir de la definición de las formas modulares, las expectativas de sus transformadas de Fourier?

Answer 1

La definición de una forma modular parece muy desmotivado, y como @AndreaMori ha señalado, mientras que el complejo de la metodología analítica que nos da la ruta más rápida a una definición, también las nubes, algo de lo que realmente está pasando.

Un buen lugar para comenzar es con la teoría de curvas elípticas, que han sido objetos de geométrica y aritmética de interés. Una definición de una curva elíptica ( $\mathbb C$ ) es un cociente de $\mathbb C$ por un entramado $\Lambda = \mathbb Z\tau_1\oplus\mathbb Z\tau_2$ donde $\tau_1,\tau_2\in\mathbb C$ son linealmente independientes sobre $\mathbb R$ ($\mathbb C$ y $\Lambda$ son vistos como aditivo grupos): es decir, $$E\cong \mathbb C/\Lambda.$$

En este punto de vista, uno puede estudiar curvas elípticas mediante el estudio de las rejillas $\Lambda\subset\mathbb C$. Las formas modulares que corresponden a ciertas funciones de redes, y por extensión, a ciertas funciones de curvas elípticas.

¿Por qué la mitad superior del plano?

Por simplicidad, ya que $\mathbb Z\tau_1 = \mathbb Z(-\tau_1)$, no hay daño en el supuesto de que $\frac{\tau_1}{\tau_2}\in \mathbb H$.

¿Qué acerca de la $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$?

¿Cuándo $(\tau_1,\tau_2)$ $(\tau_1',\tau_2')$ definir la red misma? Exactamente cuando $$(\tau_1',\tau_2')=(a\tau_1+b\tau_2,c\tau_1+d\tau_2)$$where $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. Hence, if we want to consider functions on lattices, they had better be invariant under $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$.

Funciones sobre redes:

Supongamos que tenemos una función $$F:\{\text{Lattices}\}\to\mathbb C.$$ First observe that multiplying a lattice by a non-zero scalar (i.e. $\lambda\Lambda$ for $\lambda\in\mathbb C^\times$) montos a girar y reescalado de la celosía. Así que nuestra función no debe hacer nada loco, para aplicar el zoom de celosías.

De hecho, desde que se preocupan realmente de curvas elípticas, y $\mathbb C/\Lambda\cong\mathbb C/\lambda\Lambda$ bajo el isomorfismo $z\mapsto \lambda z$, $F$ debe ser completamente invariante bajo tales rescalings - es decir, debemos insistir en que

$$F(\lambda \Lambda) = F(\Lambda).$$ Sin embargo, si definimos $F$ como esta, nos vemos obligados a insistir en que $F$ no tiene polos. Este es innecesariamente restrictivo. Entonces, ¿qué podemos hacer en su lugar es exigir que $$F(\lambda\Lambda) = \lambda^{-k}F(\Lambda)$$ para algunos entero $k$; el cociente $F/G$ de dos peso $k$ funciones da completamente invariante de la función, esta vez con polos permitido.

¿Dónde formas modulares?

Si $\Lambda = \mathbb Z\tau\oplus\mathbb Z$$\tau\in\mathbb H$, definir una función $f:\mathbb H\to\mathbb C$$f(\tau)=F(\Lambda)$. Para un general de celosía, tenemos

$$\begin{align}F(\mathbb Z\tau_1\oplus\mathbb Z\tau_2)&=F\left(\tau_2(\mathbb Z({\tau_1}/{\tau_2})\oplus\mathbb Z)\right)\\ &=\tau_2^{-k}f({\tau_1}/{\tau_2}) \end{align}$$ y, en particular, $$\begin{align}f(\tau) &= F(\mathbb Z\tau\oplus\mathbb Z) \\&=F(\mathbb Z(a\tau+b)\oplus\mathbb Z(c\tau+d)) &\text{by }\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)\text{ invariance}\\&= (c\tau+d)^{-k} f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right).\end{align}$$

Esto responde a tus dos primeras preguntas.

En este punto, no hay ninguna razón para suponer que la condición (3) se mantiene, y uno puede estudiar tales funciones sin asumir la condición (3). Sin embargo, la imposición de la cúspide de condiciones es una cosa útil para hacer, ya que asegura que el espacio de peso $k$ formas modulares es finito dimensionales.

Para responder a la cuarta pregunta, sí, y este es exactamente el punto de vista adoptado en la mayoría de las investigaciones realizadas en las formas modulares y sus generalizaciones, donde se considera automorphic representaciones.

Answer 2

(a) ${\rm SL}_2(\Bbb Z)$ es un grupo en el sentido de que es un ejemplo de la estructura algebraica llamada de grupo. :)

(b) Que no es el grupo de operación. El grupo de operación ${\rm SL}_2(\Bbb Z)$ (y de hecho en cualquier lineal de grupo) es la multiplicación de la matriz. Lo que usted describe es la acción del grupo ${\rm SL}_2(\Bbb Z)$ sobre la parte superior halfplane $\cal H$.

(c) Exactamente.

(d) las formas Modulares levante a las funciones de $L^2({\rm GL}_2(\Bbb Q)\backslash{\rm GL}_2(\Bbb A))$ donde $\Bbb A$ es el anillo de racional adeles.

(e) yo diría que no. La importancia de sus coeficientes de Fourier se hace evidente sólo después de que los operadores de Hecke se introducen. El análisis de la forma en que los operadores de Hecke actuar en formas modulares es el principal de introducción de enlace entre la teoría de las formas modulares y de la aritmética, ya que, por ejemplo, permite mostrar que el espacio de las formas modulares de peso fijo (que es finito-dimensional) tiene una base de formas modulares con los coeficientes de Fourier en $\Bbb Z$.