Cálculo de la integral estocástica básica.

Question

Estoy tratando de calcular la covarianza de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck unidimensional 1$dx_t=-\theta x_t dt+ \sigma dW_t$,$\theta>0$ y estoy en la etapa,$$\text{Cov }(x_s,x_t)=\sigma^2 e^{-\theta(t+s)} \mathbb{E}\left[ \int_0^s e^{\theta u}dW_u \int_0^t e^{\theta v} dW_v\right].$ $

¿Es posible evaluar las integrales estocásticas explícitamente y, si no, cómo se hace para simplificar esto? En Wikipedia, dicen que esto es igual a$\frac{\sigma^2}{2\theta} e^{-\theta(t+s)} (e^{2\theta s\wedge t } -1)$ pero no puedo ver cómo llegan a esta conclusión.

Gracias.

Answer 1

El truco que se aprende cuando se trata con Ito integrales es que $$ \int_a^bf_s\mathrm d W_s\quad\text{ y }\quad \int_b^cf_s\mathrm d W_s $$ son independientes siempre que $a<b<c$, se deduce a partir de la independencia de los incrementos de $W_t$. Como resultado, si se supone que en su caso $s\leq t$ $$ \mathsf E\left[\int_0^s f_u\mathrm dW_u \int_0^t f_v\mathrm dW_v\right] = \mathsf E\left[\left(\int_0^s f_u\mathrm dW_u \right)^2\right] + \mathsf E\left[\int_0^s f_u\mathrm dW_u\int_s^t f_v\mathrm dW_v\right] $$ $$ = \int_0^s\mathsf E[f^2_u]\mathrm du + \mathsf E\left[\int_0^s f_u\mathrm dW_u\right]\cdot\mathsf E\left[\int_s^t f_v\mathrm dW_v\right] = \int_0^s\mathsf E[f^2_u]\mathrm du. $$ Ahora solo tiene que elegir las $f$ adecuadamente.