Yo estoy revisando el libro "la Conquista de la Física GRE" para mi próximo Física GRE. Me encontré con este problema que estoy teniendo problemas con la comprensión. En particular, entiendo que la solución que el autor ofrece, pero no entiendo lo que está mal con mi enfoque.
P. El campo Eléctrico dentro de una esfera de radio $R$ está dado por $E = E_0 z^2 \hat{\textbf{z}}$. ¿Cuál es la carga total de la esfera?
Los autores de participación de tomar la divergencia del campo eléctrico para obtener la densidad de carga y, a continuación, la integración de la densidad sobre el volumen de la esfera cargada cerrado, que en su caso resulta ser $0$.
Pero también podemos usar simplemente una esfera concéntrica de radio $r$ ($0 < r \le R$) como una Gaussiana de la superficie y sólo tiene que utilizar la forma integral de las ecuaciones de Maxwell para calcular la carga encerrada.
$$ \oint \limits_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} .$$
Desde el área de los puntos de vector en la dirección radial, si asumimos que hace un ángulo de $\theta$ con el vector del Campo Eléctrico, y dado $z = r cos(\theta)$, tenemos
$$ Q_{enc} = \epsilon_0 \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} E_0 r^2 cos^2(\theta) r^2 sin(\theta) d\theta d\phi,$$
$$ Q_{enc} = \frac{4 \pi \epsilon_0 E_0}{3} r^4 . $$
Si queremos que la carga encerrada por la esfera, que acaba de establecer $r = R$, por lo que tenemos
$$ Q = \frac{4 \pi \epsilon_0 E_0}{3} R^4 .$$
que no es cero.
Estoy teniendo problemas para averiguar donde estoy pasando mal. Cualquier sugerencia apreciado.
