Si$f$ es analítico, donde$f$ se representa como$f=g \cdot h,$ donde$g$ es analítico. A partir de aquí, ¿podemos concluir que$h$ es analítico?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No tome $f\equiv 1$ , $g=x$ y $h=\frac{1}{x}$.
Esto sólo funciona cuando permiten observar los límites, sin que esto todavía hay contador de ejemplos.
De hecho, ni siquiera podemos concluir que $h$ es continua en cualquier lugar, cuando $f\equiv 0$ $g\equiv 0$ usted puede optar $h$ como cualquier función. Para hacer esto no complicada sólo miramos el caso real (una función es analítica cuando se localmente tiene una convergencia de series de taylor). Eligiendo $f=0$, $g=0$ y $$h=\begin{cases} 0 & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\\ 1 & x \in \mathbb{Q}\\ \end{casos}$$ nos da un ejemplo contrario donde $h$ es discontinua en todas partes.
Como Martin quería algunos resultados positivos:
Al $f(x_0)\neq 0$ $g(x_0)\neq 0$ sabemos que $h$ debe ser de al menos localmente acotada en $x_0$.
Cuando decimos que $g\neq 0$ $$\frac{f}{g}$$ es complejo diferenciable, lo que significa que $$\frac{f}{g}=h$$ es complejo diferenciable y por lo tanto analítica.
Al $f(x_0)=0$ es un cero de orden finito, lo que significa que existe una $k\in \mathbb{N}$ tal que $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k}\neq 0$$ Y $g$ tiene un cero de la misma orden (o menor) en $x_0$ $h$ es analítica en $x_0$.
Escrito $g$ $f$ de potencia de la serie da este resultado.
