¿Hay infinitos números enteros pares $n$% tales que$1+4\varphi(n)$ es un cuadrado perfecto?

Question

Sea$\varphi(n)$ la función totient de Euler. La secuencia de enteros pares$n$ tal que$$1+4\varphi(n)$$ is a perfect square starts as $$4, 6, 14, 18, 26, 28, 36, 42, 44, 50\ldots$ $

Pregunta. Tengo curiosidad sobre esta pregunta: ¿hay infinitos enteros pares$n$ de manera tal que$1+4\varphi(n)$ es un cuadrado perfecto? Muchas gracias.

Answer 1

Sí. Deje que$p>2$ sea un primo. Luego$\phi(2p^2)=p(p-1)$ y por lo tanto $$ 1 +4 \ phi (2p ^ 2) = 1 +4p (p-1) = (2p-1) ^ 2. $$