Diferentes resultados en la misma integral impropia (wolfram)

Question

Pensé que los dos límites anteriores darían los mismos resultados, pero no lo hacen. ¿Alguien puede explicar por qué?

Answer 1

Estas dos expresiones son diferentes. Para ver por qué, vamos a examinar la primera expresión. $$\lim_{n \to \infty}\frac{\int_0^{\infty}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx}{n}$$ As you probably know, the integral $\int_0^{\infty}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx$ is just $\lim_{t\to \infty}\int_0^{t}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx$. Hence, the first expression is just $$\lim_{n \to \infty}\frac{\lim_{t\to \infty}\int_0^{t}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx}{n}.$$ Now observe the second expression $$\lim_{n \to \infty}\frac{\int_0^{n}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx}{n}.$$ While these may look remarkably similar, they are not the same thing. This is because in the first expression, $t$ is independent of $n$. Hence, when $t$ tends to infinity, $$ n no. Sin embargo, en la segunda integral, tanto en el límite superior de la integral y el denominador tienden a infinito simultáneamente.

Este podría ser un poco difícil de entender al principio, pero piense en ello de esta manera. Asumir la integral de la $\int_0^{\infty}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx$ es convergente. (No creo que es, sin embargo, por ahora, vamos a pretender que lo es). Por lo tanto, cuando se toma el límite de $n$ tiende a infinito, que realmente están tomando el límite de algunas constantes en $n$ $n$ tiende a infinito, o si se prefiere ecuaciones, usted está tomando el límite de $\lim_{n \to \infty}\frac{k}{n}$, por sime valor constante $k$. Esto es claramente $0$. Ahora, suponga que$\int_0^{\infty}\sin^2(x^2)\cos^2(x^2)\;dx$ es divergente. Si este es el caso, el límite anterior es indefinido, ya que la expresión de que nos están tomando el límite de no estaba definida en el primer lugar. Nota sin embargo, que todavía el numerador no depende de $n$, es sólo que siempre indefinido.

Ahora a pensar en la segunda expresión, de hecho, usted está tomando el límite de algo más de $n$ $n$ enfoques de la infinidad, pero este algo no permanece constante como $n$ aumenta. Para ver esto, simplemente piense en lo que usted conseguirá cuando usted evaluar la parte superior de la integral, obtendrá algo de la función en $n$. (Si usted no ve esto, trate de la evaluación de la integral). Esto va a cambiar como $n$ aumenta, causando la integral a aumentar.

Un ejemplo elemental de dicho efecto sería el de los límites de $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2}$$\lim_{n \to \infty} \frac{lim_{k\to \infty}k^2}{n^2}$, la primera integral es claramente $1$, ya que como $n^2$ en el denominador aumenta, el $n^2$ en el numerador se aumenta en consecuencia, mantener la expresión en $1$, mientras que la segunda expresión sería indefinido desde $k$ aumenta de forma independiente de $n$ y nos da un indefinido de expresión.

No he comprobado bien la expresión a ver si wolfram alpha evaluado correctamente. Sin embargo, espero que ahora se entienda que la razón wlofram alfa salida de dos resultados diferentes porque los dos expresiones que usted pone en, no son equivalentes. Eso es mucho más importante, en mi opinión, que si es o no wolfram alpha es correcta.

Espero que esto ayudó.

Answer 2

Usted tiene por el cambio de la variable$u=x^2$$$\int_0^n \sin(x^2)^2\cos(x^2)^2dx=\frac{1}{16}\int_0^{n^{2}}\frac{1-\cos(4u)}{\sqrt{u}}du=\frac{n}{8}-\frac{1}{16}\int_0^{n^{2}}\frac{\cos(4u)}{\sqrt{u}}du $ $
Ahora, este espectáculo (ya que la integral$\int_0^{+\infty}\frac{\cos(4u)}{\sqrt{u}}du $ es convergente) que la integral$\int_0^n \sin(x^2)^2\cos(x^2)^2dx$ es divergente. Por lo tanto, el primer cálculo no está definido.

Para el segundo, ahora está claro por la fórmula anterior, nuevamente, ya que la integral$\int_0^{+\infty}\frac{\cos(4u)}{\sqrt{u}}du $ es convergente.