¿Es un ideal que es máximo con respecto a la propiedad que consiste en cero divisores necesariamente primarios?

Question

Esto es en seguimiento a esta pregunta.

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con identidad y considerar el conjunto $Z \subset R$ de los divisores de cero. Si el ideal $I\subset Z$ es maximal con respecto a la restricción, necesita ser primo?

Desde el Lema de Zorn se aplica igualmente bien a demostrar que sea mínimo el primer ideales existen, o que el máximo de ideales contenidos en $Z$ existen, esto proporcionaría una alternativa prueba de que la pregunta de si es cierto.

Un enfoque ingenuo para demostrar esto es asumir $ab \in I$$a, b \notin I$. Desde $ab \in I$, se deduce que el $ab$ es un divisor de cero, por lo $abx = 0$ algunos $x \neq 0$, y, por lo tanto, $a$ es un divisor de cero aniquilado por $bx \neq 0$ o $b$ es un divisor de cero aniquilado por $x$. En cualquier caso, lo que es obvio a considerar sería la $aR+I$ o $bR+I$, pero no hay ninguna razón obvia por la que cualquiera de estos ideales deben consistir de divisores de cero.

De acuerdo a rschwieb, la respuesta es sí para la reducción de Noetherian anillos.

Answer 1

La prueba de recuerdo utiliza el ideal cociente $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$, donde si $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ son ideales de un conmutativa unital anillo de $A$, luego $$ (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{x\in A:x\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a}\}. $$ Si $\mathfrak{b}=(x)$ que es lo principal, yo escribo $(\mathfrak{a}:x)$ en lugar de $(\mathfrak{a}:(x))$.

Deje $\mathfrak{a}$ ser un elemento maximal en $\Sigma$, el conjunto de todos los ideales de cero-divisores, ordenados por inclusión. Puedo reclamar $\mathfrak{a}$ es el primer en $A$.

Supongamos $x,y\notin\mathfrak{a}$, pero $xy\in\mathfrak{a}$. A continuación,$y\in(\mathfrak{a}:x)$, lo $\mathfrak{a}\subsetneq(\mathfrak{a}:x)$. Por maximality de $\mathfrak{a}$, $(\mathfrak{a}:x)\notin\Sigma$, de modo que existe $z\in(\mathfrak{a}:x)$ que no es un divisor de cero.

Considere la posibilidad de $(\mathfrak{a}:z)$. Si $w\in(\mathfrak{a}:z)$, $zw\in\mathfrak{a}$. Por lo tanto existe $v\neq 0$ tal que $vzw=(vw)z=0$. Desde $z$ no es un divisor de cero, $vw=0$, lo $w$ es un divisor de cero. Por lo tanto $(\mathfrak{a}:z)\in\Sigma$. Pero $x\in(\mathfrak{a}:z)$, lo $\mathfrak{a}\subsetneq (\mathfrak{a}:z)$, una contradicción a la maximality de $\mathfrak{a}$. Por lo $\mathfrak{a}$ es primo. Esperemos que funcione.

Answer 2

Pista con las cosas que has hecho hasta ahora:

PS

Tome ahora los divisores que no sean cero$$I\lneqq aR+I\,,\,bR+I\;\;,\;\;\text{but}\;\;(aR+I)(bR+I)\le abR+aI+bI+I^2\le I$, que no pueden ser (¿por qué?)