En los libros de texto, la escalera de los operadores son siempre definidos," y se muestra "subir" el estado de un sistema, pero nunca son en realidad derivados.
Llega a ellos simplemente por ensayo y error? O es que hay más sistemática método/enfoque para obtener de ellos?
Siempre he encontrado Griffith método de 'derivados' la escalera de los operadores para que sea fácil de entender. Y, si se me olvida su forma precisa, siempre se puede recuperar de esta manera. Se presenta por primera vez la escalera de los operadores para el 1-dimensional oscilador armónico. He aquí su método básico:
Para el oscilador armónico, $$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{m\omega^2\hat{x}^2}{2}=\frac{1}{2m}\left[\hat{p}^2+\left(m\omega\hat{x}\right)^2\right].$$ En la última forma, es tentador tratar de escribir el operador en el corchetes como un producto: $$\left(i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)\left(-i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)\tag{wrong!},$$ pero esto no iba a funcionar ya que el impulso y la posición de los operadores no conmutan. (Se iba a trabajar para los números.) La idea crucial es que se acaba de tratar de computación que el producto, y ver qué tan cerca de la real hamiltonianos. Si nos vamos por un plazo podemos simplemente añadir al final.
Así que, aquí vamos! Vamos a definir los operadores de $\hat{A}_-$ $\hat{A}_+$ $$\hat{A}_-\equiv \left(i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right),\ \hat{A}_+\equiv \left(-i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)$$ y, a continuación, calcular el producto $\hat{A}_-\hat{A}_+.$ Después de un poco de trabajo, que incluye el uso de la canónica de conmutación relación, se obtiene $$\hat{A}_-\hat{A}_+=\left[\hat{p}^2+\left(m\omega\hat{x}\right)^2\right]+m\omega\hbar.$$
Esto se ve muy cerca de la real hamiltoniano anterior. En realidad, es sólo por un término constante en el frente del término entre corchetes y que molestos término constante en el derecho. Bien, vamos a dividir ambos lados por $2m$ por lo que el hamiltoniano viene de manera explícita, y volver a escribir cosas para que se vean bien y simétrica. $$\frac{\hat{A_-}}{\sqrt{2m}}\frac{\hat{A_+}}{\sqrt{2m}}=\hat{H}+\frac{\omega\hbar}{2}.$$
La solución para $\hat{H}$ se obtiene $$\hat{H}=\frac{\hat{A_-}}{\sqrt{2m}}\frac{\hat{A_+}}{\sqrt{2m}}-\frac{\omega\hbar}{2}=\hbar\omega\left(\frac{\hat{A_-}}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\frac{\hat{A_+}}{\sqrt{2m\hbar\omega}}-\frac{1}{2}\right).$$
Mirando hacia atrás en la forma final, habría sido más conveniente definir $$\hat{a}_\mp\equiv\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\pm i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)=\frac{\hat{A}_\mp}{\sqrt{2\hbar m\omega}}$$ debido a que esta opción simplifica la forma del hamiltoniano: $$\hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{a}_-\hat{a}_+-\frac{1}{2}\right).$$
Después de esto, uno lo hace increíblemente inteligente observaciones de la forma $\hat{a}_\mp$ ley sobre la energía autoestados. Este pines de abajo que es el descenso y que es la elevación del operador, lo que justifica los subíndices.
El concepto de la matemática detrás de la escalera de los operadores es el "sistema de la raíz" de una Mentira álgebra y cosas relacionadas con ella. Así que creo que la mayoría de enfoque sistemático para la escalera de los operadores es la matemática.
Si usted está interesado, usted puede encontrar algunas explicaciones en el siguiente post: Link (en la respuesta que contiene la palabra "raíces").
Las matemáticas y la relación de la física está muy bien explicado en el libro de Georgi (Enlace). Usted también puede echar un vistazo al libro de Ramón (Enlace), la cual también explica este concepto.
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