Invariancia de galga lagrangiana$L'=L+\frac{df(q,t)}{dt}$

Question

Por lo tanto, tengo que demostrar directamente (por ejemplo, por sustitución) que si una ruta satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano$L$, lo hace para$$L'=L+\frac{df(q,t)}{dt}.$ $ Permítame decirle lo que he hecho:

PS

Me gustaría probar de alguna manera que el segundo paréntesis es$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L'}{\partial q_i}=(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i})+(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}\frac{df}{dt}-\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{df}{dt})$ para este fin, he usado lo siguiente:

PS

Ahora la prueba está completa SI $0$$$\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}=\sum\frac{\partial q_j}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial}{\partial q_j} \Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}=\sum \frac{d}{dt}\frac{\partial q_j}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial}{\partial q_j}=\sum \frac{\partial \dot{q_j}}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial}{\partial q_j}.$ q_i, q_j $ pero ¿también es cierto para sus derivados?

Answer 1

Lo más simple es ir con \begin{align} \frac{df}{dt}&= \frac{\partial f}{\partial q}\dot q + \frac{\partial f}{\partial t}\, ,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\frac{df}{dt}\right)&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial q} \right)\\ &= \frac{\partial }{\partial q}\left( \frac{df}{dt}\right) \end {align} Usted puede tratar el caso multivariable usted mismo.

Answer 2

Sólo la integridad, la otra forma más sencilla y directa de hacer esto es teniendo en cuenta que mediante la resolución de Euler-Lagrange las ecuaciones que son esencialmente de encontrar un punto fijo de la acción $S = \int_{t_i}^{t_f} L dt$. En otras palabras, encontrar el camino de $q(t)$, lo que minimiza la acción, dado punto final fijo $q(t_f)$, $q(t_i)$. Este es el procedimiento que los rendimientos de Euler-Lagrange las ecuaciones.

Habiendo dicho esto, considere la posibilidad de la acción $S' = \int_{t_i}^{t_f} dt L' = \int_{t_i}^{t_f} dt\left[ L +\frac{df}{dt}\right]$

Entonces, la integración de :

$$ S' = \int_{t_i}^{t_f} dt L + [f(q,t)]^{t_f}_{t_i} = S+f(q(t_f),t_f)-f(q(t_i),t_i)$$

Ahora, el punto final de la trayectoria son fijos, mientras que la búsqueda del punto fijo. Por lo tanto, cuando se varia $S$, podemos variar la ruta, pero no en los puntos finales. En otras palabras :

$$\delta S' = \delta S + \underbrace{\delta\big(f(q(t_f),t_f)-f(q(t_i),t_i)\big)}_{= 0} \Leftrightarrow \delta S' = \delta S$$

Por lo tanto, la variación de $S'$ $S$ es el mismo, por lo que proporcionan equivalente de la ecuación de movimiento !

Answer 3

Estás en el camino correcto y casi con tu prueba, necesitas ver algo llamado 'cancelación de puntos', un pequeño truco útil al hacer la mecánica de Lagrangian. Una buena prueba se da aquí por Bernhard Heijstek.