Problema lógico que involucra suma de dígitos

Question

Bueno chicos! Estoy estudiando para el nacional de la olimpiada de matemáticas (brasil) por mí, y corrí a la siguiente pregunta:

Deje $S(n)$ ser la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,$S(77) = 14$$S(2003) = 5 $ . Saber si hay n es entero y positivo con :

$S(n) = 9 $

y

$S(n^2) = 81 $

He encontrado un número, es $111 111 111$ ( 9 veces de dígitos 1), pero fue sólo una suerte de adivinar.

Quiero ir más profundo en el ejercicio y saber si hay formas de calcular (sin la suerte de conjeturas) el uso de la lógica o de cualquier concepto de las matemáticas.

Gracias de antemano

Answer 1

Sólo un boceto: se puede probar que

$$s(x+y) \le s(x)+s(y)$$ La igualdad ocurre si, y sólo en caso de no llevar ocurre cuando la adición de los dígitos.
Así que si $x=\sum 10^i x_i $$y= \sum 10^i y_i$, entonces la igualdad ocurre si, y sólo si $x_i+y_i<=9$ todos los $i$.

$$s(xy)<=s(x)s(y)$$ La igualdad ocurre si y sólo si: no hay dígitos del producto es mayor que $9$ y no llevar produce mientras que la adición de los dígitos de los productos, por lo $x_j y_{i-j}<=9$ para todos los posibles $i,j$$\sum_j x_j y_{i-j}<=9$. Por lo tanto, $s(n^2)<=s(n)^2$ y si $s(n)=9$ $s(n^2)<=81$

Por lo que el número no puede contener un dígito mayor que $3$ porque entonces los cuadrados de los dígitos es mayor que $9$. También si $x_i$ $x_j$ son de dos dígitos y $x_i\ge 3$$x_j \gt 1$$x_i x_j+x_j x_i \ge 12$. Este es mayor que 9 y por lo tanto no puede suceder.

• Así que sólo tenemos las siguientes posibilidades:
• $n$ contiene sólo los dígitos $0$ $1$ $2$
• $n$ contiene los dígitos $0$$1$, y exactamente un dígito $3$.

Así que, además de a $0$ podemos tener los siguientes dígitos

$$1,1,1,1,1,1,1,1,1$$ $$1,1,1,1,1,1,1,2$$ $$1,1,1,1,1,1,2,2$$ $$1,1,1,2,2,2$$ $$1,2,2,2,2$$ $$1,1,1,1,1,1,3$$

Si nos posicionamos distinto de cero sólo dígitos en las posiciones dígito $$1,3,7,15,31,\ldots,2^k-1,\ldots$$ a continuación, podemos garantizar que el producto contiene sólo digitsums de la forma $(x_i)^2$ (en la posición $2i$) y $2x_i x_j$ (en la posición i+j). Así que no va a llevar a ocurrir. Así, para cada dígito de la tupla anterior, podemos construir un número con $s(n)=9$$s(n^2)=81$, e.g $1,2,2,2,2$ podemos construir $$20000000000000002000000020002010$$ (también podemos usar una permutación de estos dígitos, e.g $2,2,1,2,2$) Este será un número con la propiedad deseada.Si uno agrega a $0$, va a ser un número válido. Pero uno puede intentar construir números más pequeños mediante la eliminación de algunas de las $0$. Mientras no llevar ocurre, esto va a ser un número válido.

Answer 2

Considera números con solo tres dígitos:

$n = a 100 + b 10 + c$, dónde $S(n) = a + b + c = 9$.

$n^2 = a^2 10^4 + a b 10^3 + (b^2 + 2 a c) 10^2 + 2 b c 10 + c^2$ donde ahora $S(n^2) = a^2 + a b + (b^2 + 2 a c) + 2 b c + c^2 = 81$.

¡Establece algunas ecuaciones!

Puede generalizar esto a números más grandes, si es necesario.

¡Buena suerte en la Olimpiada!