La integral del generador$H^{2k}(\mathbb CP^k)$ sobre$\mathbb CP^k$ es 1

Question

Estoy tratando de dar una prueba de la Hirzebruch firma teorema de un diferenciable punto de vista (es decir, el uso de de Rham cohomology). La prueba de obras, salvo por un pequeño paso.

Sabemos que $H^*(\mathbb{C} P^k)=\mathbb{R}[x]/x^{k+1}$ $x$ el generador de $H^2(\mathbb{C}P^k)$, o más específicamente, estoy asumiendo que $x=-e(S)$, es decir, está dada por menos de Euler de la clase de el universal subbundle $\mathbb{C}P^n$. Ahora con $x$ definido como tal debo mostrar que $$\int_{\mathbb CP^k}x^k = 1$$ Necesito esta identidad para calcular el $L$-género de la compleja proyectiva del espacio. Mi conjetura es que primero tendría que demostrar que $x$ es de Poincaré doble a$\mathbb CP^{k-1}\subset \mathbb CP^k$, de modo que, $$\int_{\mathbb CP^k}x^k = \int_{\mathbb CP^{k-1}}x^{k-1}$$ y, a continuación, aplicar la inducción.

Answer 1

La integral sobre la clase de chern del paquete tangente es igual a la característica de euler de$M$. La clase de Chern es$(1+x)^{k+1}$, donde$x$ es el generador del dual del paquete de líneas tautológicas. Asi que $\int {k+1 \choose k} x^k=k+1$. Por lo tanto, la integral de$x^k$ debe ser igual a uno, ya que la característica de euler de$\mathbb{C} P^k$ es k +1.