Puntos integrales dentro de un círculo de radio r y centro en origen

Question

Sea$f(r)$ el número de puntos integrales dentro de un círculo de radio$r$ y el centro en el origen (un punto integral es un punto cuyas coordenadas son enteros). Entonces$\lim_{r\to\infty}\frac{f(r)}{r^2}$ es igual a

(UNA) $1$

(B)$\pi$

(C)$2\pi$

(D)$\pi/2$

No pude encontrar una fórmula general para estimar el número de puntos. Algunas ideas ?

Answer 1

Cualquier entramado punto de $(j,k)\in{\mathbb Z}^2$ es el centro de un cuadrado $$Q_{jk}:=\left\{(x,y)\>\biggm|\>j-{1\over2}\leq x\leq j+{1\over2}, \ k-{1\over2}\leq y\leq k+{1\over2}\right\}$$ de área $1$, y diferentes plazas en más de una arista en común. De ello se deduce que la zona de unión de los diferentes cuadrados es igual al número de los que ocurren en las plazas.

Supongamos que un $r>1$, y deje $$L_r:=\bigl\{(j,k)\>\bigm|\> (j,k)\in B_r\bigr\}$$ el conjunto de celosía puntos contenidos en el disco cerrado de radio $r$ centrada en $(0,0)$. A continuación, el número de $\#L_r$ de los elementos de la $L_r$ satisface $$\#L_r={\rm area}\left(\bigcup_{(j,k)\in L_r}Q_{jk}\right)\leq\pi\left(r+{1\over\sqrt{2}}\right)^2\ ,$$ desde todos los $Q_{jk}$ aquí caben en un disco de radio $r+{1\over\sqrt{2}}$. Por otro lado, $$\#L_r={\rm area}\left(\bigcup_{(j,k)\in L_r}Q_{jk}\right)\geq\pi\left(r-{1\over\sqrt{2}}\right)^2\ ,$$ desde el mismo $Q_{jk}$ cubrir al menos el disco de radio $r-{1\over\sqrt{2}}$. El teorema del sándwich, a continuación, muestra que, de hecho, $$\lim_{r\to\infty}{\#L_r\over r^2}=\pi \ ,$$ por lo tanto la respuesta B) es la correcta.

Por el camino: la Búsqueda de la óptima estimación del error de la aproximación $\#L_r\doteq \pi r^2$ es uno de los más famosos (sin resolver) los problemas geométricos de la teoría de números.