Demostrar que $4x^2-8xy+5y^2\geq0$ - esta es una prueba válida?

Question

Necesito demostrar que $4x^2-8xy+5y^2\geq0$ mantiene para todos los números reales $x, y$.

Primero voy a empezar con otra desigualdad, es decir,$4x^2-8xy+4y^2\geq0$, que sostiene claramente como puede ser factorizados en $(2x-2y)^2\geq0$. Ahora podemos añadir a $y^2$ (que es siempre no negativo) en el lado izquierdo, por lo tanto la obtención $4x^2-8xy+5y^2\geq0$, que es siempre la verdad - hemos añadido un no negativo de la expresión a otra, por lo que la suma es mayor o igual a cero.

Es mi prueba correcta? Yo lo tenía en mi último examen de matemáticas y me gustaría estar seguro.

Answer 1

Se dio lo que se llama la suma de cuadrados de certificado para la no-negatividad. Si usted puede escribir un polinomio como una suma de los cuadrados de polinomios, entonces es no negativo, aunque la inversa no necesita tener. Usted puede buscar el historial de Hilbert del 17 de problema" para más detalles.

Answer 2

Correcto, y se puede escribir en una sola línea, si usted no necesita justificar los pequeños pasos:

$4x^2-8xy+5y^2 = (2x-2y)^2+y^2 \ge 0$.

El uso de esta suma de cuadrados técnica también conseguir que la igualdad se produce exactamente al$2x-2y = 0$$y = 0$, o lo que es equivalente al $(x,y) = (0,0)$.

Answer 3

Sí, la prueba es correcta. Dése una palmadita en la espalda.