Cuando el cuadrado de un ideal es el cuadrado de un ideal máximo en un anillo polinómico

Question

Pregunta (1) Sea $J$ sea un ideal en $\mathbb C[X,Y]$ tal que $J^2=(X,Y)^2$ . Entonces, ¿es cierto que $J=(X,Y)$ ?

Pregunta (2) Sea $J$ sea un ideal en $\mathbb C[X,Y,Z]$ tal que $J^2=(X,Y,Z)^2$ . Entonces, ¿es cierto que $J=(X,Y,Z)$ ?

Si la respuesta a alguna de las preguntas es negativa, se deberá plantear una nueva pregunta. $J$ (como ser homogéneo o monomio, o algún límite en $\mu (J)$ ) fuerza $J$ sea igual al correspondiente ideal maximal ?

Para una pregunta similar, véase https://math.stackexchange.com/questions/3101911/ideal-in-local-domain-whose-square-equals-the-square-of-the-maximal-ideal

La respuesta a cualquier parte de las preguntas es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

(1): Sí. En primer lugar, tenga en cuenta que $J\subseteq (X,Y)$ . Si $a\in J$ pero $a\not \in (X,Y)$ entonces $a^2 \in J^2 = (X,Y)^2 \subseteq (X,Y)$ . Desde $(X,Y)$ es primo esto implica que $a\in (X,Y)$ .

Ahora bien, si nos fijamos en $\mathbb{C}[X,Y]/(X,Y)^2$ Obsérvese que se trata de un espacio vectorial complejo tridimensional con base $1,X,Y$ . El ideal correspondiente a $J$ en este anillo, si no es igual a $(X,Y)$ debe tener dimensión uno como espacio vectorial. Llamamos al generador $aX+bY$ . Entonces $J = (aX+bY) + (X,Y)^2$ . Pero está claro que en este caso $J^2 \ne (X,Y)^2$ .

(2): Sí. El mismo argumento muestra $J\subseteq (X,Y,Z)$ y sólo hay que argumentar que el ideal correspondiente en el cociente no puede tener dimensión dos. Llamamos generadores $f,g$ . Entonces $J = (f,g) + (X,Y,Z)^2$ donde $f,g$ tener un título $1$ . Ahora $J$ es homogénea y su grado $1$ tiene dimensión 2 y dimensión $0$ tiene la dimensión $0$ . Por tanto, el grado $2$ componente de $J^2$ tiene dimensión como máximo $4$ Por lo tanto $J^2 \ne (X,Y,Z)^2$ .

Obsérvese que el argumento de (2) puede generalizarse (y que (1) es en realidad un caso de bebé).